Лекция 12
Вероятность попадания нормальной случайной величины
в заданный интервал
Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), такова:
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x - a)/ . Отсюда x = z - a, dx = dz. Найдем новые пределы интегрирования. Если x = , то = ( - а)/ ; если x = , то = ( - a)/ .
Таким образом
где - функция Лапласа. Итак
(12.1)
Функция Лапласа нечетная функция: Ф(- x) = - Ф(x).
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 12. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).
Решение. Воспользуемся формулой (52.2). По условию, =10, = 50, a =30, =10, следовательно,
|
|
По таблице находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность
Р (10 < X < 50) = 2 0,4772 = 0,9544.