К выборкам с повторениями можно прийти, выбирая r элементов из генеральной совокупности, содержащей n классов, при достижении соглашения считать элементы внутри класса неразличимыми. Предполагается, что каждый класс содержит не менее r элементов.
Df. Сочетаниями с повторениями называются выборки заданного числа элементов из некоторого множества, в которых допускаются повторения элементов.
#. Выбор четырёх открыток, если в продаже имеются открытки пяти видов. Здесь возможен выбор нескольких одинаковых открыток.
Теорема. Число сочетаний с повторениями из n элементов по r элементов равно числу сочетаний без повторений по столько же элементов из n+r –1 элементов.
(12) .
#. Найдем количество различных покупок по четыре открытки, если в продаже имеются открытки 5 видов. Это количество равно
Размещения с повторениями можно определить по аналогии с сочетаниями с повторениями. Видно, что данному определению удовлетворяют рассмотренные ранее кодовые слова заданной длины (в них буквы могут повторяться). Алфавитом может служить любое множество, если всякий раз выбираемый элемент копируется в выборку, затем возвращается в первичное множество. Численность размещений с повторениями, как мы это уже установили, равна
|
|
(13) .
Размещениями с повторениями являются также упорядоченные выборки заданного размера из генеральной совокупности, содержащей n классов, при достижении соглашения считать элементы внутри класса неразличимыми. Предполагается, что каждый класс содержит не менее r элементов.
Пример. Располагая латинским алфавитом VL, можно составить 263=17576 различных трехбуквенных слов (предполагается n (VL)=26, k= 3).
Задания:
Законспектировать определения и формулы соединений в тетрадь.
Разобраться с таблицей и привести свой пример на каждый вид соединений.
Решить задачи:
1. Сколькими способами можно надеть по одному кольцу на 4 пальца руки, выбирая из 5 различных колец?
2. Научное общество состоит из 25 человек. Нужно выбрать президента, вице-президента, секретаря и казначея. Сколькими способами можно осуществить выбор, если каждый член общества может занимать не более одной выборной должности?
3. Из 9 солдат старшина произвольно отбирает двух для дежурства. Одного из них он назначает старшим. Сколькими способами он может это сделать?
4. Подсчитайте число возможных анаграмм (перестановок букв) из слова:
а) ананас; б) Миссисипи.
5. Сколько существует способов рассадить 7 человек на семи стульях?
6. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
7. Сколько существует способов выбрать троих ребят из семерых желающих дежурить в столовой?
|
|
8. Из лаборатории, в которой работают 10 сотрудников, надо отправить четверых в командировку. Сколькими способами это можно сделать?
9. Сколько различных трехзначных чисел можно записать из цифр 1и 2?
10. В буфете имеется 4 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 6 пирожных?
[1] От франц. combination — сочетание.
[2] От франц. arrangement — размещение.