Разновидностью двойственных задач линейного, программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.
Исходная задача. Найти матрицу-столбец Х = (x1, x2, …, xn), которая удовлетворяет системе ограничений
(1.12). АХ >А0, Х >0
и минимизирует линейную функцию Z = СХ.
Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y1, y2, …, yn), которая удовлетворяет системе ограничений YA £ C, Y ³ 0 и максимизирует линейную функцию f = YA0.
Систему неравенств с помощью дополнительных переменных можно преобразовать в систему уравнений, поэтому всякую пару симметричных двойственных задач можно преобразовать в пару несимметричных, для которых теорема двойственности уже доказана.
Используя симметричность, можно выбрать задачу, более удобную для решения. Объем задачи, решаемой с помощью ЭВМ, ограничен числом включаемых строк, поэтому задача, довольно громоздкая в исходной постановке, может быть упрощена в двойственной формулировке. При вычислениях без помощи машин использование двойственности упрощает вычисления.
|
|
Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x1 + 2x2 + 3x3 при ограничениях
2x1 + 2x2 - x3 ³ 2,
x1 - x2 - 4x3 £ -3, xi ³ 0 (i=1,2,3)
x1 + x2 - 2x3 ³ 6,
2x1 + x2 - 2x3 ³ 3,
Очевидно, для того чтобы записать двойственную задачу, сначала необходимо систему ограничений исходной задачи привести к виду (1.12). Для этого второе неравенство следует умножить на -1.
Двойственная задача. Найти максимум линейной функции f = 2y1+ 3y2 + 6y3 + 3y4 при ограничениях
2y1 - y2 + y3 + 2y4 £ 1,
2y1 + y2 + y3 + y4 ³ 2,
-y1+ 4y2 - 2y3 - 2y4 ³ 3,
Для решения исходной задачи необходимо ввести четыре дополнительные переменные и после преобразования системы - одну искусственную. Таким образом, исходная симплексная таблица будет состоять из шести строк и девяти столбцов, элементы которых подлежат преобразованию.
Для решения двойственной задачи необходимо ввести три дополнительные переменные. Система ограничений не требует предварительных преобразований, ее первая симплексная таблица содержит четыре строки и восемь столбцов.
Двойственную задачу решаем симплексным методом (табл. 1.3).
Оптимальный план двойственной задачи Y* = (0; 1/2; 3/2; 0), fmax = 21/2.
Оптимальный план исходной задачи находим, используя оценки (m + 1)-й строки последней итерации, стоящие в столбцах A5, A6, A7: x1 = 3/2 + 0 = 3/2; x2 = 9/2 + 0 = 9/2; x3 = 0 + 0 = 0. При оптимальном плане исходной задачи X* = (3/2; 9/2; 0) линейная функция достигает наименьшего значения: Zmin =21/2.
Т а б л и ц а 1.3
|
|
i | Базис | С базиса | A0 | ||||||||||||||||
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | |||||||||||||
A5 A3 A7 | -1 | -1 | -2 | -1 -2 | |||||||||||||||
m + 1 | Zi - Cj | -2 | -3 | -6 | -3 | ||||||||||||||
A3 A6 A7 | -1 | -1 | -1 | ||||||||||||||||
m + 1 | Zi - Cj | -9 | |||||||||||||||||
A3 A2 A7 | 3/2 ½ | 3/2 -1/2 | ½ -1/2 | ½ ½ | |||||||||||||||
m + 1 | Zi - Cj | 21/2 | 9/2 | 3/2 | 9/2 | ||||||||||||||
12. Несимметричные двойственные задачи.