Наиболее часто при описании взаимосвязи социально-экономических явлений, кроме линейной модели, используют следующие виды зависимостей:
1) гиперболическая ;
2) уравнение Торнквиста (процесс с насыщением);
3) парабола второго порядка (в практике регрессионного анализа редко применяют полиномы выше третьей степени);
4) степенная ;
5) показательная (экспоненциальная) ;
6) логарифмическая ;
7) логистическая кривая (кривая Перла) ();
8) кривая Гомперца .
Кривая Гомперца и логистическая кривая применяются для описания экономических процессов, которые имеют три ярко выраженные фазы развития: первая стадия – формирование базы и стадия медленного роста, вторая фаза – стадия бурного роста, третья – фаза насыщения и замедления роста. Кривые имеет точку перегиба, а при стремятся к асимптоте.
Параметры уравнений регрессии, как и в случае линейной регрессии, находят на основании метода наименьших квадратов. Число уравнений в системе нормальных уравнений при этом равно числу искомых параметров.
|
|
Нелинейные уравнения регрессии могут быть разбиты на две группы: уравнения нелинейные по переменным (например, полиномы, логарифмическая зависимость и др.) и уравнения, нелинейные по параметрам (например, уравнение Торнквиста, логистическое уравнение и др.). В первом случае уравнение называется квазилинейным, так как может быть приведено к линейному виду путем замены переменных или логарифмирования (для экспоненциальной зависимости). При этом вычисления параметром может быть осуществлено таким же образом, как и для линейных уравнений. Если уравнение регрессии нелинейно по параметрам, то значения параметров могут быть определены только с использованием численных методов.
В некоторых случаях нелинейность связей являются следствием неоднородности совокупности, к которой применяется регрессионный анализ (например, объединение в одной совокупности предприятий разных специализаций или разной величины). В этом случае регрессионный анализ не может быть эффективным. Поэтому перед применением регрессионного анализа любая нелинейность должна критически анализироваться.
По расположению точек корреляционного поля не всегда можно принять окончательное решение о виде уравнения регрессии. Если теоретические соображения и предшествующий опыт не могут помочь, то следует построить несколько наиболее подходящих уравнений регрессии. Предпочтение отдают уравнению, у которого значение остаточной дисперсии или средней ошибки аппроксимации является минимальным. Если же эти показатели отличаются незначительно, то выбирают наиболее простое уравнение.
|
|
Необходимо понимать, что практическое использование полученной модели имеет ряд ограничений:
- хорошие аппроксимационные свойства наблюдаются только в середине ряда, где ошибка составляет 1-2 %; на концах ряда ошибка может достигать 20%;
- на основании регрессионной зависимости нельзя получить оптимальные значения факторов;
- модель обладает слабыми экстраполяционными свойствами, не отражает тенденции развития и позволяет сделать только кратковременный прогноз.