Теоретический материал к выполнению заданий №2

Алгоритм решения задачи методом Лагранжа

1. Составляется математическая задача нелинейного программирования

Ϝ(X) = f(x₁, x₂, …, x_n) → экстремум

g_i(x₁, x₂, …, x_n) = 0 i = 1, …, m

в предположении, что функции f(x₁, x₂, …, x_n) и g_i(x₁, x₂, …, x_n) непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

2. Составляется функция Лагранжа

Ϝ(x₁, x₂, …, x_n, λ₁, λ₂, …, λ_m) = f(x₁, x₂, …, x_n) + Σλ_ig_i(x₁, x₂, …, x_n), I = 1, …, m,

где λ_i – множители Лагранжа.

3. Определяются частные производные

ðϜ/ðx_j; j = 1, …, n

ðϜ/ðλ_i; I = 1, …, m

4. Частные производные приравниваются нулю

ðϜ/ðx_j = ðf/ðx_j + Σλ_i(ðg_i/ðx_j) = 0 j = 1, …, n

ðϜ/ðλ_i = g_i(x₁, x₂, …, x_n) = 0 I = 1, …, m

5. Из системы уравнений п.4 определяются значения неизвестных переменных.

6. Для определения минимум или максимум функции находится в точке экстремума, берётся любая другая точка, удовлетворяющая условиям ограничений, и сравниваются значения целевых функций в этих двух точках.

Алгоритм нахождения решения многокритериальной задачи линейного программирования

1. Составляется математическая модель задачи:

F₁(X) = Σc_j*x_j→ max

F₂(X) = Σd_j*x_j → min

…

F_k(X) = Σl_j*x_j → max

J = 1…n

При ограничениях:

Σa_ij*x_j≤ b_i

x_j≥ 0 J =1…n; I = 1…m,

где: F₁(X)…F_k(X) – целевые функции (экономические показатели),

c_j, d_j, …,l_j, a_ij, b_i –заданные коэффициенты,

x_j – искомые переменные.

2. Находятся решения задачи по каждому экономическому показателю.

X_1max⁽¹⁾ = (x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾) F_1max(X)

X_2min⁽²⁾ = (x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾,…, x_n⁽²⁾) F_2min(X)

…

X_kmax^(k) = (x₁^(k), x₂^(k),…, x_n^(k)) F_kmax(X)

3. Составляется новая математическая задача для нахождения компромиссного решения.

F(X) = x_n+1 → min

при ограничениях:

Σc_j*x_j+ F_1max(X)*x_n+1≥ F_1max(X)

Σd_j*x_j -F_2max(X)*x_n+1 ≤ F_2max(X)

…

Σl_j*x_j+ F_kmax(X)*x_n+1≥ F_kmax(X)

Σa_ij*x_j≤ b_i

x_j≥ 0 J =1…n+1; I = 1…m,

где х_n+1 – наибольшее значение экономических показателей.

4. Определяется компромиссное решение

Х_комп= (х₁^(комп), х₂^(комп), …, х_n^(комп))

Вопросы для самоконтроля

Списокиспользованных источников