В процессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений двух величин, когда каждому значению функции y1, y2, yn соответствует определенное значение x1, x2,.., х п. На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения функции
y=f(x), (4.1)
которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента х1 – xn и имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента.
Эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции — аппроксимирующими.
Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов.
I. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы.
II. Вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле.
|
|
Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.
Для преобразования некоторой кривой (4.1) в прямую линию вводят новые переменные:
Х=f1(х, у), У=f2(х, у). (4.2)
В искомом уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью
У=а+bХ. (4.3)
В уравнение (4.3) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления параметров а и b получают эмпирическую формулу, которая связывает У и X, позволяет установить функциональную связь между х и у и эмпирическую зависимость (4.1).
Так, если экспериментальный график имеет вид, показанный на рис. 4.1,а, то необходимо применить формулу
. (4.4)
Заменяя и , получим . При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке. Если экспериментальный график имеет вид, показанный на рис. 4.1,б, то целесообразно использовать выражение
. (4.5)
При замене получим . Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке.
Если экспериментальный график имеет вид, представленный на рис. 4.1,в, то эмпирическая формула принимает вид
. (4.6)
а) б) в) г)
Рисунок 4.1 – Основные виды графиков эмпирических формул
Путем замены можно получить прямую линию на сетке прямоугольных координат .
Если график имеет вид, соответствующий кривым на рис. 4.1, г, то используют формулу
|
|
. (4.7)
С помощью приведенных на рис. 4.1 графиков и выражений (4.4)...(4.7) можно практически всегда подобрать уравнение эмпирической формулы.