Алгебраическую операцию сложения на множестве можно задать следующим образом:
.
Сложение комплексных чисел ассоциативно, т.е. и коммутативно, т.е. . Сумма чисел , поэтому число является противоположным числу , тем самым определена операция вычитания .
Учитывая, что через обозначен корень уравнения , т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:
.
Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , , , , при возведении в любую натуральную степень , надо найти остаток от деления на 4 и возвести в степень, равную этому остатку.
Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число .
Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :
,
где .
Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.
|
|
Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число можно записать в виде .
Число называется сопряженным числу и обозначается .
Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:
;
.
Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . Очевидно, что .
Свойства сопряжения:
;
.
Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа и .
Рис. 3.1.
Тогда каждой точке плоскости будет соответствовать единственное комплексное число . В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел C и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты . При этом точки горизонтальной координатной оси изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось называется мнимой осью.
Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и обозначается . Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и обозначается . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.
|
|
Пусть . Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа находится по формуле . Аргумент числа определяется из равенств , .
Отсюда:
(3.1) |
Запись числа в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если воспользоваться формулой Эйлера,
(3.2) |
то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:
.
Пусть и ‑ сопряженные числа. Если , то . Геометрически и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:
(3.3) |
В показательной форме:
При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.
Аналогично,
(3.4) |