Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 — Д1.9, табл. Д1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу
f = 0,2) и переменная сила , проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. , где х = BD.
Рис. Д1.0 Рис. Д1.1
Рис. Д1.2 Рис. Д1.3
Рис. Д1.4 Рис. Д1.5
Рис. Д1.6 Рис. Д1.7
Рис. Д1.8 Рис. Д1.9
Таблица Д1
Номер условия | m, кг | , м/с | Q, H | R, H | l, м | t1, с | Fx, H |
0,4 | — | 2,5 | |||||
2,4 | 0,8 | 1,5 | — | ||||
4,5 | 0,5 | — | |||||
0,6 | — | ||||||
1,6 | 0,4 | — | |||||
0,5 | — | ||||||
1,8 | 0,3 | — | |||||
0,8 | 2,5 | — | |||||
0,5 | — | ||||||
4,8 | 0,2 | — |
Указания. Задача Д1 — на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что
|
|
Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где , до точки В равно . На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F (t), заданная в ньютонах.
Дано: m = 2 кг, , где = 0,4 кг/м, = 5 м/с, = 2,5 м, .
Определить: — закон движения груза на участке ВС.
Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
|
|
или . (1)
Рис.Д1
Далее находим , ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что получим
или . (2)
Введем для сокращения записей обозначения
, , (3)
где при подсчете принято . Тогда уравнение (2) можно представить в виде
. (4)
Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим
и . (5)
По начальным условиям при что дает и из равенства (5) находим или . Отсюда
и .
В результате находим
(6)
Полагая в равенстве (6) и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость груза в точке В (, число е = 2,7):
м2/с2 и . (7)
2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью . Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , , и . Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:
или
(8)
где . Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как
ay = 0, получим , откуда .
Следовательно, ; кроме того, и уравнение (8) примет вид
. (9)
Разделив обе части равенства на , вычислим ; и подставим эти значения в (9). Тогда получим
. (10)
Умножая обе части уравнения (10) на и интегрируя, найдем
. (11)
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент . Тогда при , где дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим
.
При найденном значении уравнение (11) дает
. (12)
Умножая здесь обе части на и снова интегрируя, найдем
. (13)
Так как при , то и окончательно искомый закон движения груза будет
, (14)
где — в метрах, — в секундах.