Некоторые физические параметры (температура, масса, работа и др.) могут быть охарактеризованы одним числом, выражающим отношение рассматриваемой величины к другой однородной величине, принятой за единицу измерения. Такие величины называют скалярными; другие же величины (сила, скорость, ускорение) характеризуются числом и направлением и называются векторными. Для геометрического изображения физических векторных величин служат векторы.
Вектором называется направленный отрезок , в котором точка - начало, а точка - конец. Векторы обозначаются символом или .
Модулем вектора называется длина вектора - скалярная величина, обозначаемая или , .Если , то вектор называется нулевым, если , то вектор называется единичным вектором. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным. Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковые длины, коллинеарны и сонаправлены.
|
|
Проекцией вектора на ось называется положительное число , если направление совпадает с направлением и отрицательное число , если направление - противоположное направлению , где , - проекции точек и , соответственно, на указанную ось (рис. 4.1).
Рис.4.1.
Из определения проекции вектора вытекает, что . Пусть вектор составляет угол с осью , тогда
, , .
Под линейными операциями над векторами будем понимать операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Произведением вектора на число (скаляр) называется новый вектор, имеющий длину и сонаправленный с (при ) или противоположнонаправленный с (если ). Геометрически, например, для и имеем векторы:
Суммой векторов и называется вектор , замыкающий ломаную, построенную из данных векторов. Геометрически это выглядит следующим образом:
(правило треугольника); | (правило параллелограмма); |
(правило параллелепипеда); | (правило замыкающей). |
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
Прямоугольными декартовыми координатами точки в пространстве называются числа , выражающие величины векторов (рис.4.2), где - проекции этой точки на взаимно перпендикулярные координатные оси: ось (ось абсцисс), ось (ось ординат), ось (ось аппликат).
Радиусом-вектором точки называется вектор , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой (рис.4.2).
Векторы , и единичной длины, направления которых совпадают соответственно с направлениями осей координат , называют ортами.
|
|
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , , , образованных этим вектором с осями координат ().
Тогда , , , (4.1) причем .
Если , то .
Теорема. Пусть - вектор в пространстве , а - его проекции на координатные оси, тогда вектор единственным образом можно представить в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты координатных осей.
. (4.2)
Векторное равенство (4.2) часто записывают в символической форме .
Некоторые формулы, используемые при решении задач:
1. Умножение вектора на число:
или .
2. Сумма двух векторов:
, где , .
3. Расстояние между двумя точками.
Если даны две точки: и (рис.4.3),то координаты вектора вычисляются по формуле:
. (4.3)
Расстояние между двумя точками определяется равенством:
. (4.4)
4. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть даны две точки и (рис.4.4), тогда координаты точки такой, что , определяются по формулам:
, , . (4.5)
Если , то получим формулу для «деления отрезка пополам»:
, , . (4.6)
Задача 4.1. Даны две точки и . Найти координаты вектора , его длину и определить направляющие косинусы.
Решение. Используя формулу (4.3) получим: . По формуле (4.4) вычислим длину вектора : . Соотношения (4.1) позволяют определить направляющие косинусы вектора: .
Задача 4.2. Даны векторы , , . Разложить вектор по векторам .
Решение. Пусть , где - некоторые неизвестные коэффициенты. Используя свойства линейных операций над векторами, получим систему уравнений:
Решением последней системы уравнений будут значения . Итак, .
Задача 4.3. Для заданной силы найти величину и направление.
Решение. По формуле (4.4) находим величину силы . Направляющие косинусы вектора определяем с помощью равенств (4.1): . Следовательно, сила с величиной действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы .