Определение 1. Геометрическими векторами называются направленные отрезки, которые считаются равными, если длины отрезков и их направления совпадают, и для которых введены операции сложения векторов и умножения вектора на число по следующим правилам:
Пусть заданы 2 вектора и
, тогда суммой этих векторов
называется вектор
, идущий из начала вектора
в конец вектора
, если начало вектора
приставлено к концу вектора
.
Пусть задан вектор и число
, тогда произведением вектора
на число
, называется вектор
, по длине равный длине вектора
, умноженной на модуль числа
, одинаково направленный с вектором
при
и противоположно направленный с вектором
при
.
Отметим некоторые обозначения и выводы из определения 1.
Пусть у вектора начальной точкой является точка
, а конечной точкой – точка
. Тогда
,
. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, т. е.
. Обычным образом определяется разность векторов.
Введенные операции обладают следующими свойствами: 1) - коммутативность, 2)
- ассоциативность, 3)
- существование нулевого элемента, 4)
существование противоположного элемента
, 5)
, 6)
дистрибутивность для числовых коэффициентов, 7)
- дистрибутивность для векторов, 8)
.
Познакомимся с понятиями линейной зависимости, линейной независимости векторов, базисом и координатами.