Поясним сущность процесса изменения функции графически.
|
Особое значение имеет точка 2, в которой касательная параллельна оси оХ и Такие точки называются стационарными и часто характеризуют момент смены возрастания на убывание и наоборот. Этих точек может быть и несколько.
Экстремумы функции
Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция имеет максимум (минимум) в точке х=а, если вблизи этой точки всем значениям х соответствуют меньшие (большие), чем . По нашему чертежу точка 2 является точкой экстремума, в данном случае - максимума.
|
|
|
|
Таким образом, чтобы установить наличие экстремума и определить его тип, следует сформулировать достаточные условия. На практике используют два основных условия:
Первое достаточное условие экстремума: если в стационарной точке х=а производная меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание), то функция у= в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс, то функция имеет минимум.
Первое достаточное условие обычно используют в случаях, когда производная имеет громоздкий вид. Если же вторая производная вычисляется достаточно просто, то удобно использовать следующее условие.
Второе достаточное условие: если в стационарной точке х=а вторая производная положительна, то функция в этой точке имеет минимум, если же отрицательна, то функция имеет максимум.
Таким образом, приведем схему определения экстремумов функции :
1. Определяем производную .
2. Находим стационарные точки функции из анализа области определения производной и уравнения .
3. Выбираем первое или второе достаточное условие. В последнем случае находим
4. Исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид экстремума.
5. Вычисляем экстремальные значения функции уэкстр.=f(хстац.).
|
|
|