Математическое программирование
1. Задача математического программирования.
2. Типы зада линейного программирования.
3. Задача линейного программирования для двух переменных.
4. Выпуклые множества точек. Выпуклые множества в многомерном пространстве.
5. Основные свойства задачи линейного программирования.
6. Графический метод решения задачи линейного программирования.
7. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
8. Симплекс таблицы.
9. Метод искусственного базиса.
10. Взаимно двойственные задачи линейного программирования.
11. Метод множителей Лагранжа.
12. Классические методы определения экстремумов.
13. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.
14. Динамическое программирование.
15. Математическая теория оптимального управления.
II. Игровые методы в экономике
16. Предмет и задачи теории игр.
17. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры.
18. Смешанные стратегии. Теорема фон Неймана. Теорема об активных стратегиях.
19. Решение игры 2х2 в смешанных стратегиях. Графическое решение матричных игр.
20. Правила доминирования.
21. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
22. Моделирование экономических ситуаций в терминах «игры с природой».
23. Матрица рисков. Критерии Байеса, Лапласа, Сэвиджа, Вальда и Гурвица для определения наилучших решений в играх с природой.
III. Методы сетевого планирования и управления
24.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. Основные понятия теории графов.
25. Способы задания графа. Упорядочение элементов орграфа. Алгоритм Фалкерсона.
26. Сетевые модели. Правила построения сетевых графиков.
27. Временные параметры сетевых графиков.
28. Резервы времени.
29. Коэффициент напряженности работы.
30. Анализ сетевых моделей.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание №1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации. Составить двойственную к ней задачу.
В.1.
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
В.2.
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества A и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.
Питатательное вещество | Количество питательных веществ в 1 кг корма | |
А В | ||
Цена 1 кг корма, тыс. руб. | 0,2 | 0,3 |
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
В.3.
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
В.4.
На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои — 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей, — 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои — 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.
Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
В.5.
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта — А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов Л и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Исходный | Расход исходных продуктов на | Максимально | |
тонну краски, т | возможный | ||
продукт | Краска Е | Краска I | запас, т |
А | |||
В |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
В.6.
Финансовый консультант фирмы «АБС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 ООО долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси — Е» и «Дикси — В». Цены на акции: «Дикси — Е» — 5 долл. за акцию; «Дикси — В» — 3 долл. за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АБС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси — Е» — 1,1 долл.; «Дикси -В» — 0,9 долл.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
В.7.
Завод — производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей — Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y— 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа У необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.
Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа У— 40 ден. ед.?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
В.8.
Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3 Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.
Питательное вещество (витамин) | Необходимый минимум питательных веществ | Число единиц питательных веществ в 1 кг корма | |
I | II | ||
S1 | |||
S2 | |||
S3 |
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
В.9.
При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.
Ресурсы | Норма затрат ресурсов на товары | Общее | |
1-го вида | количество | ||
2-го вида | ресурсов | ||
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
В.10.
Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка — «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему
Задание №2
а) Записать исходные данные задачи в виде транспортной таблицы, определить, открытой или закрытой является транспортная задача.
б) Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи.
в) Найти оптимальный план перевозок, отметив при этом единственность или не единственность оптимального плана.
В1.
На строительном полигоне имеются три кирпичных завода, суточные объемы производства которых соответственно равны 450 т, 350 т и 500 т кирпича. Эти заводы поставляют кирпич на четыре строительных объекта, потребности в кирпиче которых в сутки составляют 300 т, 500 т, 350 т и 350 т соответственно. Стоимости перевозки одной тонны кирпича с первого завода на все объекты равны соответственно 1, 7, 5 и 2 ден. единиц; аналогичные стоимости перевозки со второго завода составляют 3, 1, 6 и 3 ден. единиц, а с третьего — 4, 3, 2 и 6 ден. единиц.
Составить оптимальный план перевозок кирпича с заводов на объекты, обеспечивающий минимальный затраты.
В2.
На складах А, В, С и Д находятся соответственно 50 т, 40 т, 40 т и 70 т муки, которую нужно доставить четырем хлебозаводам. Первому хлебозаводу требуется 50 т муки, второму — 40 т, третьему — 50 т и четвертому — 60 т муки. Стоимости доставки одной тонны муки со склада А каждому хлебозаводу соответственно равны 8, 3, 5 и 2 ден. единиц, со склада В — 7, 4, 9 и 8 ден. единиц, со склада С — 6, 3, 3 и 1 ден. единиц, со склада Д — 2, 4, 1 и 5 ден. единиц.
Составить план перевозки муки, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.
В3.
Картофель из четырех районов должен быть перевезен в три хранилища. Запасы картофеля в районах соответственно равны 400 т, 500 т, 800 т и 500 т. Возможности хранилищ соответственно равны 700 т, 800 т и 700 т. Затраты на перевозку одной тонны картофеля из первого района в каждое из хранилищ равны соответственно 1, 4 и 3 ден. единиц; аналогичные затраты на перевозку из второго района составляют 7, 1 и 5 ден. единиц, из третьего — 4, 8 и 3 ден. единиц, из четвертого — 6, 2 и 8 ден. единиц.
Найти план перевозок картофеля из районов в хранилище, при котором транспортные расходы были бы минимальными.
В4.
На четырех складах фирмы находится 70, 30, 40 и 60 холодильников соответственно, которые следует доставить в четыре магазина фирмы в количестве 50, 70, 40 и 40 холодильников в каждый из магазинов.
Стоимости перевозки одного холодильника с первого склада в каждый из магазинов составляют 6, 4, 9 и 7 ден. единиц соответственно, со второго склада — 7,2, 5 и 6 ден. единиц, с третьего склада — 2, 6, 3 и 3 ден. единиц, с четвертого склада — 3, 3, 6 и 5 ден. единиц соответственно.
Определить план перевозок холодильников со складов в магазины, при котором общие затраты на перевозку были бы наименьшими.
В5.
Фирма на своих филиалах производит химические удобрения. На четырех складах фирмы хранится соответственно 20 т, 70 т, 110 т и 140 т необходимого сырья, а потребности в сырье трех филиалов фирмы составляют 130 т, 80 т и 80 т сырья соответственно. Затраты на перевозку одной тонны сырья с первого склада на каждый из филиалов равны 3, 4 и 7 ден. единиц; соответствующие затраты для второго склада равны 1, 5 и 3 ден. единиц, для третьего склада — 7, 3 и 2 ден. единиц, а для четвертого склада — 4, 6 и 6 ден. единиц соответственно.
Составить оптимальный план перевозок сырья со складов на филиалы, при котором транспортные затраты были бы минимальными.
В6.
Сталеплавильная компания располагает тремя заводами M1, М2, М3, производящими за некоторый период времени 50, 30 и 20 тыс. тонн стали. Свою продукцию компания поставляет четырем потребителям С1, С2, С3 и С4», потребности которых за тот же период времени составляют 12, 15, 25 и 36 тыс. тонн. Стоимости перевозки 1 тыс. тонн стали с завода M1 потребителям C1, С2, С3 и С4 равны 15, 19, 19 и 15 ден. единиц соответственно; аналогичные стоимости перевоза с завода М2 равны 19, 18, 18 и 10 ден. единиц, а с завода М3 — 14, 16, 20 и 18 ден. единиц.
Определить оптимальный план перевозок, при котором общие затраты на перевозки являются минимальными.
В7.
Компания владеет тремя фабриками F1, F2 и F3, способными произвести еженедельно 50, 25 и 25 тыс. изделий соответственно. По договорам компания поставляет продукцию четырем заказчикам C1, С2, С3 и С4, каждому из которых требуется 15, 20, 20 и 30 тыс. изделий еженедельно. Стоимости производства и транспортировки 1 тыс. изделий с фабрики F1 каждому из заказчиков составляют 13, 17, 17 и 14 ден. единиц соответственно; аналогичные стоимости для фабрики F2 равны 18, 16, 16 и 18 ден. единиц, а для фабрики F3 — 12, 14, 19 и 17 ден. единиц.
Определить оптимальный план производства и транспортировки продукции, минимизирующий общие затраты компании.
В8.
Две фабрики F1 и F2 производят электронное оборудование, объемы выпуска которого за некоторый период для каждой фабрики составляют соответственно 16 и 12 тыс. изделий. Продукция фабрик поставляется трем потребителям C1, С2 и С3, которым за тот же период времени требуется 10, 13 и 7 тыс. изделий. Стоимости перевозок 1 тыс. изделий с фабрики F1 трем потребителям равны соответственно 5, 4 и 6 ден. единиц, а с фабрики F2 — 6, 3 и 2 ден. единицы.
Найти оптимальный план перевозки продукции с фабрики потребителям, при котором общие затраты на перевозку будут наименьшими.
В9.
Четыре сталелитейных завода Z1, Z2, Z3 и Z4 производят еженедельно 950, 300, 1350 и 450 т стали соответственно. Потребителям А, В, С и D еженедельно нужно 250, 1000, 700 и 1100 от стали, а стоимости перевозок 1 т стали с заводов потребителям для завода ZI равны 12, 16, 21 и 19 ден. единиц, для завода Z2 — 4, 4, 9 и 5 ден. единиц, для завода Z3 — 3,8, 14 и 10 ден. единиц, а для завода Z4 — 24, 33, 36 и 34 ден. единиц соответственно.
Составить план транспортировки стали с заводов потребителям, чтобы минимизировать общую стоимость перевозок.
В10.
Компания владеет тремя заводами А, В и С, объемы производства которых за некоторый период времени составляют 6 тыс., 3 тыс. и 3 тыс. единиц продукции. Компания поставляет продукцию в четыре города M1, М2, М3 и М4, которым требуется 1,5 тыс.; 2,5 тыс.; 2,7 тыс. и 3,3 тыс. единиц продукции соответственно. Стоимости транспортировки единицы продукции с завода А в города M1, М2, М3 и М4 равны соответственно 1,4, 1 и 9 ден. единиц; аналогичные стоимости для завода В равны 9, 2, 2 и 8 ден. единиц, а для завода С — 6, 1, 7 и 3 ден. единицы соответственно.
Составьте оптимальный план перевозок продукции в города, минимизирующий общие затраты на перевозки.
Задание №3
а) Для данной сети работ определить сроки свершения и резервы времени событий.
б) Найти критический путь для сети проекта.
Задание №3
После k лет эксплуатации промышленное оборудование может оказаться в одном из следующих состояний: 1) требуется незначительный ремонт; 2) необходимо заменить отдельные детали; 3) дальнейшая эксплуатация возможна лишь после капитального ремонта. Накопленный на предприятии опыт свидетельствует, что вероятности указанных состояний оборудования составляют соответственно p1, p2, p3. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия может принять такие решения: 1) произвести ремонт своими силами, что потребует затрат, равных a11, a12, a13 ед. в зависимости от состояния оборудования (в затраты включена стоимость ремонта и заменяемых деталей, убытки, связанные с ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования); 2) произвести ремонт при помощи специалистов-ремонтников, что вызовет затраты, равные a21, a22, a23 ед.; 3) заменить оборудование новым, на что будет израсходовано соответственно a31, a32, a33 ед. Используя игровой подход, высказать рекомендации по оптимальному образу действий руководства предприятия.
В1. p1= 0,2, p2= 0,7, p3= 0,1.
a11=3, a12=7, a13=11
a21=9, a22 =5, a23=8
a31=15, a32=12, a33=6
В2. p1= 0,3, p2= 0,6, p3= 0,1.
a11=2, a12=6, a13=12
a21=10, a22 =4, a23=9
a31=14, a32=13, a33=8
В3. p1= 0,2, p2= 0,6, p3= 0,2.
a11=4, a12=7, a13=10
a21=8, a22 =4, a23=6
a31=13, a32=11, a33=7
В4. p1= 0,3, p2= 0,5, p3= 0,2.
a11=3, a12=6, a13=12
a21=11, a22 =6, a23=9
a31=15, a32=14, a33=8
В5. p1= 0,4, p2= 0,5, p3= 0,1.
a11=2, a12=8, a13=12
a21=10, a22 =4, a23=8
a31=15, a32=10, a33=6
В6. p1= 0,2, p2= 0,7, p3= 0,1.
a11=3, a12=8, a13=11
a21=10, a22 =4, a23=8
a31=16, a32=10, a33=6
В7. p1= 0,1, p2= 0,8, p3= 0,1.
a11=2, a12=7, a13=10
a21=8, a22 =5, a23=9
a31=14, a32=12, a33=7
В8. p1= 0,3, p2= 0,6, p3= 0,1.
a11=3, a12=9, a13=11
a21=7, a22 =5, a23=10
a31=132 a32=9, a33=5
В9. p1= 0,2, p2= 0,6, p3= 0,2.
a11=4, a12=8, a13=11
a21=10, a22 =5, a23=9
a31=14, a32=12, a33=7
В10. p1= 0,3, p2= 0,5, p3= 0,2.
a11=4, a12=7, a13=13
a21=7, a22 =4, a23=10
a31=13, a32=11, a33=6
ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература:
1. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие для студентов, обучающихся по специальностям "Финансы и кредит", "Бухгалтерский учет, анализ и аудит", "Мировая экономика"; под ред. С. И. Макарова.— 2-е изд., перераб. и доп. — М.: КноРус, 2009.— 238с.
2. Экономико-математические методы и модели. Задачник: учебно-практическое пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности "Прикладная информатика (по областям)" и другим специальностям; под ред. С. И. Макарова, С. А. Севастьяновой.— 2-е изд., перераб. — М.: КноРус, 2009.— 201с.
3. Экономико-математические методы и модели: высшая математика для экономистов: учебник для бакалавров: для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям экономики и управления / А. М. Попов, В. Н. Сотников.— М.: Юрайт, 2011.— 479 с.
б) дополнительная литература:
1. Математические методы в экономике: учебник. / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных под ред. А.В. Сидоровича – М.: Дело и Сервис, 2004 (2001). – 365с.
2. Исследование операций в экономике: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям и направлениям / под ред. Н. Ш. Кремера.— 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Юрайт, 2010.— 430 с.
3. Красс М.С. Математика для экономистов: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов.— М. [и др.]: Питер, 2008.— 464 с.
4. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций: учебное пособие для студентов. М.: ЮНИТИ, 2005. – 390 с.
5. Шелобаев С.И. Экономико- математические методы и модели: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям. – М.: ЮНИТИ: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 285 с.
в) Интернет-ресурсы:
http://mathem.h1.ru - сайт "Высшая математика on-line" - формулы и краткие понятия.
http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт
http://mathelp.spb.ru - "Высшая математика"