Всякое размещение с повторениями, в котором элемент повторяется
раз, элемент
повторяется
раз и т.д. элемент
повторяется
раз, где
,
,
,
— данные числа, называется перестановкой с повторениями порядка
в которой данные элементы повторяются соответственно
,
,
раз.
Теорема. Число различных перестановок с повторениями из элементов , в которых элементы
повторяются соответственно
раз, равно
Доказательство. Если мы будем считать все элементов перестановки с повторениями различными, то всего различных вариантов перестановок
элементов —
. Однако среди этих перестановок не все различны. В самом деле, все элементы
мы можем переставлять местами друг с другом, и от этого перестановка не изменится. Точно так же, можем переставлять элементы
,
,
,
. Таким образом, всякая перестановка может быть записана
способами. Следовательно, число различных перестановок с повторениями равно
Задача. Дано различных предметов. Сколькими способами можно разбить эти предметы на 3 группы так, чтобы первая группа содержала
предметов, вторая
предметов, а третья
предметов?
|
|