Спроецируем ортогонально все элементы натуральной системы координат OXYZ на плоскость П’ (рис. 86).
Рис. 86
Пусть координатные оси OX, OY, OZ пересекут плоскость П’ в точках А, В и С соответственно. Треугольник АВС называется треугольником следов.
Рассмотрим свойства прямоугольной аксонометрии.
1. Сумма квадратов показателей искажения равна двум:
k2 + m2 + n2 = 2. (8)
Пусть (O’X’Y’Z’, е’х, е’у, е’z) – прямоугольная аксонометрическая проекция натуральной системы координат OXYZ. Обозначим углы:
OX П’ =
, OY
П’ =
, OZ
П’ =
,
= OX
OO’,
= OY
OO’,
= OZ
OO’.
Углы ’,
’,
’ называют направляющими углами. Из прямоугольных треугольников ОО’A, OO’B, OO’C следует, что
,
,
.
Из курса аналитической геометрии известно, что сумма квадратов косинусов направляющих углов равна единице, т.е.:
. (9)
Подставив значения ,
,
в выражение (9), получим:
или
, или
, откуда
. (10)
Но, так как
,
,
, то k2 + m2 + n2 = 2.
2. Аксонометрические оси являются высотами треугольника следов. Покажем, что ось O’Z’ стороне АВ: в самом деле, OZ
плоскости XOY, следовательно, что O’Z’
XOY, но тогда O’Z’
AB. Аналогично доказывается, что O’X’
BC, O’Y’
AC.
3. Треугольник следов всегда остроугольный.
4. Аксонометрические оси в прямоугольной аксонометрии образуют между собой тупые углы. Эти свойства доказываются очень легко.