МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Действия над матрицами
1. Сложение матриц
Суммой двух матриц A = (aij) и B = (bij) одинакового размера называется такая матрица C = (cij) того же размера, что cij = aij + bij
Свойства сложения матриц
1) Ассоциативность.
Для любых матриц A,B и C одинакового размера выполнено равенство (A + B) + C = A + (B + C).
2) Коммутативность.
Для любых матриц A и B одинакового размера выполнено A+B = B+A.
3) Нулевая матрица.
Матрица O произвольного размера k×n, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Для любой матрицы A размера k×n выполнено следующее равенство A + O = A.
4) Противоположная матрица.
Для любой матрицы A размера k×n существует матрица B размера k × n такая, что A + B = O. Матрица B называется противоположной к A и обозначается -A.
2. Умножение матрицы на число
Всякую матрицу A можно умножить на число α, для этого каждый элемент матрицы A нужно умножить на α.
Свойства умножения матрицы на число
1) Ассоциативность.
Для любой матрицы A и чисел α, β выполнено (αβ)A = α(βA).
|
|
2) Дистрибутивность.
2.1) Для любой матрицы A и чисел α, β выполнено (α+ β)A = αA + βA.
2.2) Для любых двух матриц A и B одинакового размера и числа α выполнено α(A + B) =αA + αB.
3. Умножение матриц
Умножение матриц A размера k×n и B размера s×m определено, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, то есть n = s. Результат умножения AB есть матрица C = (cij)
размера k×m, для которой cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj
Свойства умножения матриц
1) Не коммутативность.
Произведение матриц в общем случае не коммутативно, то есть существуют матрицы A и B, что A • B ≠ B • A.
2) Ассоциативность.
Для любых трех матриц A, B и C подходящего размера выполнено (A • B) •C = A • (B • C).
3) Единичная матрица.
Квадратная матрица En = 1 0 … 0
0 1 … 0
……….
0 0 … 1
размера n×n называется единичной. Для любых матриц A размера k×n и B размера n×m
выполнены равенства: A•En = A, En•B = B:
4) Дистрибутивность.
4.1) Для любых трёх матриц A, B и C подходящего размера выполнено равенство A • (B + C) = A • B + A • C.
4.2) Для любых трёх матриц A, B и C подходящего размера выполнено равенство
(A + B) • C = A•C + B • C
Определение определителя и его основные свойства
Определителем квадратной матрицы A = () размера n £ n называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы A. В каждом произведении сомножители записываются в порядке следования строк, а номера столбцов образуют перестановку (; ;:::; ) принадлежит Sn. Всего под знаком суммы стоит n! слагаемых; слагаемые, отвечающие четным перестановкам, входят со знаком плюс, а, отвечающие нечетным перестановкам — со знаком минус
|
|
Свойства:
1. Определители любой квадратной матрицы A и транспонированной с ней матрицы совпадают.
2. При перестановке местами любых двух строк матрицы определитель меняет знак на противоположный
3. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух строк, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во второй — вторым
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
……………………………….. ……………… ………………
bi1 + ci1 bi2 + ci2::: bin + cin = bi1 bi2::: bin + ci1 ci2 … cin
……………………………….. …………….... ………………
an1 an2 … ann an1 an2::: ann an1 an2 … ann
4. Если все элементы некоторой строки определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
5. Если в квадратной матрице две строки совпадают, то ее определитель равен нулю.
6. Определитель матрицы, содержащей строку нулей, равен нулю.
7. Определитель матрицы не изменится если к одной ее строке прибавить другую ее строку, умноженную на любое число.