Матрицей порядка называют таблицу чисел, состоящую из
- строк и
- столбцов.
Числа, входящие в состав матрицы, называют элементами матрицы. Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита . Элементы матрицы
обозначают
, где
и
называют индексами элемента
. Первый индекс
определяет номер строки, индекс
- определяет номер столбца матрицы
. Если число строк матрицы
равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной. Если матрица состоит из одной строки, ее называют матрица-строка, если матрица состоит из одного столбца, то ее называют матрицей-столбцом. Если у квадратной матрицы элементы
при
, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы все элементы
, то матрицу называют единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают буквой
. Например:
.
Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать.
Суммой двух матриц и
одинакового порядка называют матрицу
того же порядка, элементы которой вычисляют по правилу
(3.1).
Аналогично определяют разность матриц.
|
|
Пример 5. Найти сумму и разность матриц и
.
.
.
.
Произведением матрицы на число
называют матрицу
, элементы которой вычисляют по формуле
(3.2).
Пример 6. Матрицу умножить на
.
Решение. .
Произведением двух матриц порядка
и
порядка
называют матрицу
порядка
, элементы которой определяют по формуле:
(3.3).
Замечание 1. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.
Пример 7. Найти произведение матриц и
, если
.
Решение.
Квадратная матрица порядка
называется обратной матрицей матрицы
порядка
, если
.
Замечание 2. Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, то есть в общем случае:
.
Если , то матрицы называют коммутативными.
Замечание 3. Для обратных матриц справедливо равенство .
Обратную матрицу принято обозначать .