Этот метод предусматривает для решения метрических задач последовательное изменение положения плоскости проекций V на и плоскости проекции Н на
, причем при каждом изменении одной из этих плоскостей рассматриваемые геометрические объекты проектируются на две взаимно-перпендикулярные плоскости.
При решении задач, когда необходимо использовать метод перемены двух плоскостей проекций, условие задания обычно даётся на ортогональном чертеже в системе плоскостей проекций представленной осью
.
Основываясь на необходимости выполнения задания, мы связываем на ортогональном чертеже заданную систему с новой ––
, которая представлена осью
, где плоскость проекций Н остаётся в прежнем состоянии, а плоскость V занимает новое положение
, оставаясь при этом перпендикулярной плоскости Н.
И, наконец, сообразуясь с требованиями задачи, обе эти системы связываем с системой плоскостей , представленной на нашем ортогональном чертеже осью
, где плоскость проекций
остается неизменной, а плоскость Н, занимая новое положение
, остаётся перпендикулярной плоскости
.
На ортогональном чертеже рисунка 84 показана точка А в системе :
. При
переходе к системе , обозначенной осью
, положение проекции
в плоскости Н остается неизменной, а проекция на новую плоскость
переносится известным образом в точку
. Проекции точки А в системе
, обозначенной осью
:
; здесь
Рис. 84.
позиция проекции неизменна, а проекция на новую плоскость
известным методом переносится в точку
(см. рис. 84). Рассмотрим на конкретном примере решение задачи, пользуясь переменой двух плоскостей проекций.
Задача 1. Определить расстояние от точки до прямой
(рис. 85).
Рис. 85 Рис. 86
Ре ш е н и е. Расстояние от точки до прямой выражается отрезком перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую и ограниченного данной точкой и точкой его пересечения с прямой, т.е. необходимо прежде всего опустить из точка на прямую
перпендикуляр и найти его основание.
Прямой угол между данной прямой ВС и прямой к ней перпендикулярной, будет проектироваться без искажения на плоскость, параллельную данной прямой. Следовательно, прежде всего необходимо выбрать новую плоскость проекций, параллельную прямой : выбираем новую плоскость
, параллельную прямой ВС, такому выбору плоскости на ортогональном чертеже (рис. 86) соответствует выбор новой оси
параллельно проекции
.
Строим уже известным образом на новой плоскости проекций проекции точки
и проекцию прямой
. Затем из точки
на проекцию прямой
опускаем перпендикуляр и находим его основание
–– точка
является проекцией на плоскость
основания перпендикуляра
, опущенного из данной точки на данную прямую.
Для построения проекции на плоскость Н этого перпендикуляра , через точку
проводим прямую, перпендикулярную к оси
(линию проекционной связи) до пересечения в точке
с проекцией bc, и точку а соединяем с точкой
(рис. 86).
Отрезки являются проекциями расстояний от данной точки А до заданной прямой ВС соответственно в плоскостях проекций
и Н, но это ещё не истинное расстояния от точки А до прямой ВС, а только её проекции.
Последним этапом решения задачи является определение истинной длины отрезка , который является искомым расстоянием. Указанный отрезок будет проектироваться без искажения на плоскость ему параллельную. Следовательно, для окончательного решения задачи необходимо выбрать новую плоскость проекций
, параллельную отрезку
(рис. 87).
Рис. 87
В качестве новой плоскости проекций выбираем плоскость На ортогональном чертеже выбору этой плоскости соответствует выбор новой оси
параллельно проекции
[13]. Построенную новую систему плоскостей проекций
с осью
свяжем на ортогональном чертеже рисунка 85 с системами
и
.
Строим в плоскости системы
проекцию отрезка
, откладывая для получения проекции каждой точки этого отрезка соответственно расстояния от оси
: для получения точки
–
, а для точки
–
. Нужно отметить, что проекция прямой ВС на плоскости проекций
проектируется в точку, совпадая с проекцией
, т.к. в пространстве плоскость
перпендикулярна к прямой ВС (см. рис. 87).
Длина проекции является истинной длиной расстояния от точки А до прямой ВС –– задача решена.
Задача 2. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми и
(рис. 88).
Р е ш е н и е. Искомое расстояние выражается отрезком перпендикуляра, проведённого к обеим данным параллельным прямым и ограниченного точками пересечения с этими прямыми при параллельности плоскости, образованной этими параллельными прямыми, какой-то плоскости проекций.
Рис. 88 Рис. 89
Для осуществления первого этапа решения задачи выбираем новую плоскость проекций , параллельную плоскости, образованных этими прямыми. Такому выбору плоскости на ортогональном чертеже рисунка 89 соответствует выбор новой оси
параллельной данным параллельным прямым
и
.
Известным методом в новой плоскости проекций строим проекции прямых
и
.
Вторым этапом решения задачи является определение истинного расстояния между параллельными прямыми и
.
Для окончания решения задачи необходимо выбрать новую плоскость проекций ,
перпендикулярную к данным прямым и
. На ортогональном чертеже выбору этой плоскости соответствует выбор новой оси
системы
(рис. 89). Находим проекцию отрезка
, который является взаимным перпендикуляром к заданным параллельным прямым.
В плоскости строим прямую
, которая является истинным расстоянием между заданными прямыми
и
.
Следует обратить внимание, что проекции на плоскости точек прямой
проектируются в одну точку вместе с проекцией
, а точек прямой
–– вместе с
(рис. 89).
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Геометрические тела, с которыми приходится встречаться в инженерной практике, могут быть разделены на два класса:
1. Геометрические тела с кривыми поверхностями. Это поверхности вращения: конус, цилиндр, сфера-шар.
2. Геометрические тела с многогранными поверхностями или многогранники: призма, пирамида.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения образуются вращением линии 1 вокруг прямой i – оси вращения. Определитель поверхности вращения включает образующую 1 и ось i. Каждая точка образующей описывает при вращении окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Эти окружности называются параллелями (h). Наибольшую и наименьшую параллели конуса называют соответственно экватором и горлом. Кривые, образующиеся на поверхности вращения в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называют меридианами. Точки на поверхности вращения обычно строят с помощью параллелей h и образующих 1.
Цилиндр образуется вращением прямой 1 вокруг параллельной ей оси i (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
Конус образуется вращением прямой 1 вокруг пересекающейся с ней оси i (рис. 2).
На этих же рисунках показано определение точки М, принадлежащей поверхностям цилиндра и конуса.
Сфера (шар) образуется вращением окружности вокруг её диаметра (рис. 3). Построение точек на сфере выполняют с помощью параллелей h. Наибольшая параллель сферы (круга) проходит через центр сферы и называется экватором. Если нужно найти точку М, принадлежащую поверхности сферы, то через заданную проекцию этой точки проводится проекция параллели h, затем находится вторая проекция этой параллели, после чего на ней с помощью линии связи строится недостающая проекция точки М.
МНОГОГРАННИКИ
Призма – многогранник, у которого две грани основания одинаковые и взаимно параллельные многоугольники, а остальные грани (боковые) – параллелограммы (рис. 3а). Рис. 3
Пирамида – многогранник, у которого одна грань, которая
принимается за основание, является произвольным многоугольником,
а остальные грани (боковые) – треугольники с общей точкой, которая
называется вершиной S (рис. 3б).
Рис. 3 а Рис. 3 б
Призма. Пирамида.
АВС – нижнее основание. S – вершина.
– верхнее основание. АВС – основание.
АВ – грань. ABS – грань.
В – ребро. SB – ребро.