Если задана допустимая погрешность вычислений и Хi – вектор точных значений неизвестных линейной системы, а Хi ( k ) – есть k приближение значений неизвестных, вычисленное методом итераций, то для оценки погрешности || Хi - Хi ( k )|| £ метода применяется формула
. (3.8)
где || a || – одна из трех норм матрицы a, || b || – та же норма вектора b, а k – число итераций, необходимое для достижения заданной точности.
При этом предполагается, что последовательное приближение Хi ( j ) (где j = 0, 1, 2, 3, …, k; i = 1, 2, …, n) вычисляется точно, в нем отсутствуют погрешности округления.
Пример. Методом последовательного приближения решить систему
1. Приведем данную систему к нормальному виду
; .
2. Строим последовательные приближения.
Нулевое:
.
Первое:
.
Второе:
.
Третье:
.
С точностью 10-1 получаем х 1 = 3, х 2 = 1, х 3 = 1.
Итерационный процесс сходится, т.к.
;
.
Процесс итераций заведомо сходится, если элементы матрицы a удовлетворяют неравенству | aij | < 1/ n, где n - число неизвестных данной системы.
|
|
В нашем примере n = 3, | aji | < 1/3. Используя норму ,
|| a|| 2 = max (0,4; 0,325; 0,325)=0,421.
Соответствующая матрица || b ||2 = (3,25 + 1,4 + 1,4) = 6,05.
Применяя формулу
при ε =10-4, получим
.
или , значит итераций.
ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ