Направляющие косинусы и длина вектора.
Скалярным произведением ненулевых векторов и
называют число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними:
.
Если хотя бы один из векторов или
нулевой, то угол φ не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.
По определению и
.
Скалярное произведение называется скалярным квадратом
и по определению
т. е.
=
откуда следует
.
Из определения следует, что для любых ненулевых векторов и
и любого действительного числа μ справедливы соотношения:
1. ·
=
·
.
2. μ·( ·
)=(μ
)·
=
·(μ.
).
3. и, следовательно, ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть задан вектор . Если
,
,
, то числа
называют направляющими косинусами вектора
и координаты вектора
представляются в виде:
Тогда и после нормирования вектора получаем
, т.е. направляющие косинусы вектора
являются координатами его орта
.
Если , то
т.е.
. Если в этой формуле орт
0 заменить вектором
, то приходим к понятию проекции вектора на вектор:
, т.е
.
|
|
Воспользуемся этой формулой и докажем линейность скалярного произведения:
Имеем:
что и требовалось доказать.
Пользуясь линейностью скалярного произведения, найдем его для векторов
= (а1, а2, а3) и
= (b1, b2, b3)
Для этого сначала запишем координаты вектора в виде скалярных произведений:
. Затем обе части разложения
умножим скалярно на
.
Получим: т.е. скалярное произведение векторов в координатной форме имеет вид:
Из полученной формулы сразу же следует:
1. и
2. Если и векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
.
3. , т.е. сумма квадратов направляющих косинусов одного направления (одного вектора) равна 1.
4. Если координаты векторов и
пропорциональны, то векторы коллинеарны, т.к. в этом случае cos(
) =
.
Задача 0.38. Используя понятие проекции вектора на вектор, найти длины отрезков, на которые высота BD, опущенная из вершины B (7; 0; 2), делит сторону AC треугольника ABC, если A(-3; 5; -6) и C(3; -4; 12).
Решение. По координатам точек найдем координаты векторов и вычислим
.
![](https://konspekta.net/studopediaru/baza19/2295570822245.files/image566.gif)
Найдем проекции векторов и
на вектор
.
.
.
Контроль: .
Ответ: ,
;
Задача 0.39. Радиус–вектор точки M составляет с осью y угол
, с осью z угол
, а его длина 8. Найдите координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.
Решение. Координаты вектора =(x, y, z) выразим через его модуль и направляющие косинусы:
,
,
или
,
.
Т.к. сумма квадратов направляющих косинусов одного направления равна 1, т.е. , то
,
и т. к.
, то
. Следовательно,
. Ответ: (-4; 4; 4
).
Задача 0.40. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения В(3;-2;-1) переместилась в С(4;-3; 3).
|
|
Решение. Найдем вектор перемещения точки приложения силы: . Тогда работа, произведенная силой
, равна по определению скалярному произведению
.
Ответ: 16 ед. работы.
Задача 0.41. Вектор перпендикулярен вектору
. Скалярное произведение вектора
и вектора
равно 3. Известно, также что
, где
. Найдите координаты вектора
и постройте его в прямоугольной декартовой системе координат.
Решение. Если
, то
или
. Если
, то
. Если
, то
или
.
В итоге решаем систему уравнений.
Следовательно,
.
На осях x, у и z от начала координат откладываем векторы ,
и
и на этих векторах строим параллелепипед, диагональ которого, исходящая из точки О, и является вектором
. Ответ:
.