Означення І. Математичний сподіванням ДВВ X називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні
ймовірності і позначається М(X):
(1)
Тут X - ДВВ, що набуває значення хk з ймовірностями рk, k = 1,n.
Зауваження 1. Якщо ДВВ X набуває зліченної множини можливих значень, то (2)
за умови, що даний ряд абсолютно збіжний.
Зауваження 2. З означення випливає, що М(X) не випадкова, а стала величина (на відміну від випадкової величини X).
Приклад 1. Знайти М\ X) випадкової величини X, яка означає кількість появи гербів при підкиданні трьох монет.
Розв'язання. За умовою випадкова величина X означає кількість
гербів. Наведемо таблицю усіх можливих значень, яких набуває X, та їх ймовірності.
Ω | ГГГ | ГГЦ | ГЦГ | ЦГГ | ГЦЦ | ЦГЦ | ЦЦГ | ЦЦЦ |
X | ||||||||
Р |
X | ||||
p |
Тепер запишемо закон розподілу X:
Контроль:
Знайдемо М(Х) за формулою(1)
Зауваження З Математичне сподівання числа появи події А в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події. Дійсно, M(X) = 0 ∙ q + 1∙p= p.
|
|
Зауваження 4. Математичне сподівання наближено дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань п) середньому арифметичному значень випадкової величини, що спостерігається. У цьому полягає
ймовірнісний зміст М (X).
Зауваження 5. Очевидно, М(Х) більше найменшого і менше
найбільшого з можливих значень ДВВ X:
min(x1,х2,...,хn)< М(Х)<тaх(х1,х2,...,хп).
Отже, М(Х) характеризує розміщення значень випадкової величини X.
Зауваження 6. (Механічний зміст формули (1)). Запишемо формулу (1) у вигляді
(3)
Нехай рк - маси матеріальних точок, розміщених на числовій осі, а хk - координати цих точок. Тоді формулу (3) можна розглядати як формулу центра ваги системи матеріальних точок (рис. 1).
Тому математичне сподівання називають центром розподілу випадкової величини.