Операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число, умножение, транспонирование, возведение в степень, многочлен от матрицы. Например:
1. Заданы матрицы , , , .
Из перечисленных операций выполнить те, которые определены:
а) , б) , в) , г) .
2. Найдите сумму матриц , разность матриц и произведение матриц и , если они существуют:
.
3. Заданы матрицы:
, и .
Выяснить, какие из произведений , , , , или существуют, и найти эти произведения.
4. Для матриц и найдите те из произведений, , , , , , , и , которые существуют:
.
5. Найдите произведение матриц , если:
.
6. Найдите и , если
, , .
Вычисление определителей третьего и четвертого порядков с помощью элементарных преобразований, например:
7. Вычислите определитель .
8. Вычислить следующие определители:
а) ; б) .
9. Проверить, является ли невырожденной матрица .
Вычисление обратной матрицы второго и третьего порядка с помощью алгебраических дополнений, например:
10. Найти матрицу, обратную к невырожденной матрице второго порядка .
|
|
11. Используя алгебраические дополнения, найдите обратную матрицу для матрицы .
Решение систем линейных уравнений матричным методом, по правилу Крамера и методом исключения неизвестных (методом Гаусса), например:
12. Решите матричные уравнения при помощи обратной матрицы:
.
13. Пользуясь правилом Крамера, решите систему уравнений (может быть и три неизвестных) .
14. Исследуйте на совместность систему линейных уравнений. Если она совместна, найдите ее общее и какое-либо частное решение. Сделайте проверку частного решения.
а) б)
15. Для однородной системы линейных уравнений
найдите общее решение и какую-либо фундаментальную систему решений.
Вычисление ранга матрицы и матричный критерий исследования линейной зависимости, например:
16. Найдите ранг матрицы .
17. При помощи матричного критерия исследуйте на линейную зависимость систему векторов
.
Составление матрицы перехода, например:
18. Запишите матрицу перехода от базиса к базису .
Нахождение собственных векторов. Приведение квадратной матрицы третьего порядка к диагональному виду в случае простых корней, например:
19. В некотором базисе трехмерного пространства линейный оператор имеет матрицу . Проверьте, какие из векторов , и будут собственными векторами этого оператора и укажите их собственные значения.
20. Для матрицы А найдите диагональный вид и невырожденную матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, если
.
21. Найдите собственные векторы линейного оператора , который в некотором базисе действительного линейного пространства V 3 имеет матрицу
а) ; б) .
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, например:
|
|
22. При помощи метода Лагранжа найдите канонический вид и одно из невырожденных линейных преобразований переменных, приводящих квадратичную форму к этому каноническому виду.
Исследование на знакоопределенность квадратичной формы по критерию Сильвестра, например:
23. Исследуйте на знакоопределенность квадратичную форму:
а) ; б) ;
в) .