Линейная независимость строк матрицы
Дана матрица размера
Обозначим строки матрицы следующим образом:
Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. .
Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:
.
Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):
.
Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
, где . (1.1)
Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми.