Розглянемо лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами .
Розв’язок будемо шукати у вигляді . Продиференціювавши, одержимо
. Підставивши
в диференціальне рівняння, отримаємо
. Скоротивши на
, одержимо характеристичне рівняння
. Алгебраїчне рівняння
-го степеня має
- коренів. У залежності від їхнього вигляду будемо мати різні розв’язки.
1) Нехай - дійсні і різні. Тоді функції
є розв’язками й оскільки всі
різні, то
- розв’язки лінійно незалежні, тобто
фундаментальна система розв’язків. Загальним розв’язком буде лінійна комбінація
2) Нехай маємо комплексно спряжені корені . Їм відповідають розв’язки
. Розкладаючи їх по формулі Ейлера, одержимо:
І, як випливає з властивості 4, функції й
будуть окремими розв’язками. Таким чином, кореням
відповідають два лінійно незалежних розв’язки
. Загальним розв’язком, що відповідає цим двом кореням, буде
.
3) Нехай - кратний корінь, кратності
, тобто
.
a) Розглянемо випадок . Тоді характеристичне рівняння
вироджується в рівняння .
Диференціальне рівняння, що відповідає цьому характеристичному, запишеться у вигляді . Неважко бачити, що частковими, лінійно незалежними розв’язками цього рівняння, будуть функції
. Загальним розв’язком, що відповідає кореню
кратності
, буде лінійна комбінація цих функцій
.
|
|
б) Нехай - корінь дійсний. Зробивши заміну
, на підставі властивості 2 лінійних рівнянь після підстановки знову одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння
. Причому, оскільки
а
, то показники
зв'язані співвідношенням
. Звідси кореню
кратності
відповідає корінь
кратності
. Як випливає з попереднього пункту, кореню
кратності
відповідає загальний розв’язок вигляду
.
З огляду на те, що , одержимо, що кореню
кратності
відповідає розв’язок
.
в) Нехай характеристичне рівняння має корені
кратності
. Проводячи аналогічні викладки одержимо, що їм відповідають лінійно незалежні розв’язки
І загальним розв’язком, що відповідає цим кореням буде
3. Знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння n-го порядку за допомогою методу варіації довільної сталої.