Углом между векторами и называется угол между векторами и имеющими общее начало.
Скалярным произведением векторов и называется число , равное произведению их модулей на косинус угла между векторами: .
Скалярное произведение обладает следующими очевидными свойствами:
1) 2) ; 3) ;
4) если модуль b = 1, то ;
5) когда векторы перпендикулярны или один из векторов равен нуль вектору .
Векторной проекцией или просто проекцией вектора на прямую называется вектор , началом и концом которого служат проекции начала и конца вектора .
Очевидно, что равные векторы имеют равные проекции, но не наоборот.
Проекция суммы векторов равна сумме их проекций: .
Скалярное произведение векторов равно, в частности, скалярному произведению вектора на проекцию , вектора на прямую, содержащую вектор , т.е. . (1)
Если некомпланарные векторы, то из трёх равенств
следует
Действительно, если , то из указанных равенств следует , , , а значит, векторы параллельны любой плоскости, перпендикулярной вектору , т.е. компланарны, что противоречит условию.
Скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности, т. е.
. (2)