1. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число
называется матрица
, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы
на число
, т.е.
для
;
.
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е .
2. Сложение матриц.
Суммой двух матриц и
одинакового размера
называется матрица
, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов матриц
и
, т.е.
для
;
(т.е. матрицы складываются поэлементно).
3. Вычитание матриц.
Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .
Умножение матриц.
Произведение матриц и
определено, когда число столбцов матрицы
равно числу матрицы
. Произведением матриц
называетсятакая матрица
, каждый элемент которой
равен суммепроизведений элементов
-й строки матрицы
на соответствующие элементы
-го столбца матрицы
:
,
;
.
(Иными словами, матрицы умножаются строка на столбец).
|
|
Операции над матрицами обладают следующими свойствами:
1) ;
2) ;
3) .
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:
а) Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц
может и не существовать.
б) Если даже произведения и
существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
в) В случае, когда оба произведения и
существуют и оба - матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц
и
одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е.
.
В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы
-го порядка на единичную матрицу
того же порядка, причем это произведение равно
:
Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что
или
.
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение
матриц, равных
, т.е.
.
Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Полагают ,
. Нетрудно показать, что
,
. Если
, то это не означает, что матрица
.
6. Транспонирование матрицы - переход от матрицы к матрице
, в которой строки и столбцы поменяны местами с сохранением порядка. Матрица
называется транспонированной относительно матрицы
:
,
. (2)
Из определения следует, что если матрица имеет размер
, то транспонированная матрица
имеет размер
.
|
|
Свойства операции транспонирования:
1)
2)
3)
4) .