Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность { an }, n =1,2,… Числа a 1, a 2, …, an называются членами или элементами последовательности, а число an – общим или n -ым членом данной последовательности.
Число A называется пределом числовой последовательности { an }, n =1,2,…, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется номер N = N (ε), что для всех членов последовательности с номерами n, большими чем N, будет справедливо неравенство | an – A |<ε. Другими словами, для достаточно больших номеров члены последовательности по абсолютной величине отличаются от величины предела последовательности как угодно мало.
Предел числовой последовательности обозначается an = A или an → A при n →∞. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
С использованием кванторов определение предела числовой последовательности переписывается следующим образом:
|
|
.
Расположим члены последовательности a 1, a 2, …, an,… на числовой прямой. Неравенство
| an – A |<ε равносильно двойному неравенству A –ε< an < A +ε, соответствующего попаданию членов последовательности an в ε-окрестность точки A.
Тогда число A есть предел числовой последовательности { an }, n =1,2,…, если для любого ε>0 найдется номер N, начиная с которого (при n > N) все члены числовой последовательности будут заключены в ε-окрестности точки A, какой бы узкой она не была. Вне ε-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.
Признак существования предела числовой последовательности. Если числовая последовательность { an }, n =1,2,… монотонна и ограничена, то она имеет предел.