Рассмотрим брус круглого сечения один конец которого закреплен, а к другому приложена пара сил с моментом m, действующим в плоскости, перпендикулярной к оси бруса. Под действием этой пары брус будет испытывать деформацию кручения, которую будем предполагать протекающей упруго. Момент пары скручивающей брус, называют скручивающим моментом и обозначается m.
Опыты показывают, что при кручении ось бруса остается прямой, торцовое сечение плоским, а радиусы, намеченные на торцовом сечении, не искривляются. Окружности нанесенные на поверхность бруса также не изменяются после деформации. Все образующие поворачиваются на один и тот же угол относительно друг друга, а квадраты нанесенные на поверхность бруса до деформации, становятся одинаковыми ромбами после кручения. Обобщив указанные данные опытов можно сделать предположение, что каждый элемент на поверхности и внутри бруса испытывает чистый сдвиг, а следовательно в поперечных сечениях бруса возникают только касательные напряжения.
|
|
Угол, на который поворачивается вокруг оси одно сечение относительно другого, называется углом закручивания и обозначается буквой θ. Величина его пропорциональна расстоянию между сечениями. Угол поворота одного торцового сечения относительно другого торцового сечения называют полным углом закручивания.
Применив метод сечения можно установить, что внутренние силы в поперечном сечении приводятся к паре сил Мк. Момент внутренней пары сил, действующей в плоскости поперечного сечения бруса, называется крутящим моментом в рассматриваемом поперечном сечении и обозначается Мк.
Расчеты на кручение производят для валов машин, осей подвижного состава, пружин и некоторых элементов гражданских и промышленных зданий.
На основе рассмотренных выше опытом можно принять следующие допущения:
· Плоские поперечные сечения круглого бруса остаются плоскими и после деформации;
· Радиусы, проведенные в поперечных сечениях, после деформации остаются прямыми;
· Расстояния между поперечными сечениями не изменяются;
Используя метод сечений, закон Гука при сдвиге и ряд математических преобразований, можно определить полный угол закручивания бруса при кручении:
Где
Мк – крутящий момент;
l – длина бруса;
G – модуль сдвига;
Jρ – полярный момент инерции площади сечения;
Произведение GJρ называют жесткостью сечения бруса при кручении. Формал читается следующим образом: величина угла закручивания прямо пропорциональна крутящему моменту Мк и длине бруса l и обратно пропорциональна жесткости сечения при кручении GJρ.
Величина θ измеряется в радианах, формула для θ в градусах выглядит следующим образом:
|
|
Величина касательных напряжений определяется по формуле:
где ρ – радиус сечения бруса;
Ввиду того, что величина Мк/Jρ постоянна для данного сечения, можно сделать вывод, что максимальное значение напряжений будет в крайних точка сечения бруса.
Наибольшее напряжение величины касательных напряжений в крайних точках можно записать как:
где Wρ=Jρ/ρmax – полярный момент сопротивления сечения бруса.
Величина полярного момента инерции площади круга определяется по формуле:
Тогда
Для полого бруса выражения выглядят следующим образом: