Вывод второй формулы для расчета ковариантных координат скорости
Целью данного раздела является вывод следующей формулы (1.5.37) для ковариантных координат скорости :
, . (1.5.37)
где
.
Для ее вывода воспользуемся определением ковариантных координат и леммой Лагранжа.
Поскольку, согласно указанному определению
, , ,
то можем записать
.
Подставим соотношение а) из леммы Лагранжа в правую часть выражения построенного для :
а) , .
Учтем, что задается формулой (1.5.32)
, (1.5.32)
а для нее справедливо очевидное равенство
,
в котором
.
В результате окончательно находим
, . (1.5.37)
Отметим здесь, что полученная формула (1.5.37) для отличается по виду от (1.5.31)
, (1.5.31)
– от первой формулы, построенной для в п.п. 8.2.3.
Однако очевидно, что она совпадает с (1.5.31), если учесть в (1.5.37), что функция задается правой частью равенства (1.5.30):
. (1.5.30)
На практике часто бывает удобнее сначала построить функцию , а затем для вычисления применить формулу (1.5.37) вместо непосредственного применения (1.5.31).
|
|
8.7. Связь декартовых координат скорости
с обобщенными скоростями точки
Легко видеть, что
.
Отсюда круговой перестановкой координат и ортов получим выражения для и :
,
.
В матричной записи эти выражения для , и примут вид:
,
где — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат,
.
В данном выражении элементы матрицы вычисляются в точке (а не в точке ).
1.3. Дополнение 3 к §5
9º. Ускорение точки в криволинейных координатах. Теорема Лагранжа
Вычислим ускорение точки согласно определению
.
Учтем, что
.
Дифференцируя правую часть по , приходим к векторному представлению ускорения в зависимости от вектор-функции , обобщенных скоростей и обобщенных ускорений , :
.
В проекциях на абсолютные оси оно примет вид:
,
,
.
9.2. Связь контравариантных координат ускорения с
его декартовыми координатами
Запишем теперь разложение ускорения по базису основной системы с началом в точке и по базису ДПСК:
. (1.5.38)
Умножая обе части равенства последовательно на скалярно, находим:
В матричном представлении данные соотношения примут вид:
, или .
Они дают связь контравариантных координат ускорения с его декартовыми координатами .
Из равенства подстановкой в него разложения (1.5.38)
. (1.5.38)
получаем формулу для :
,
где — модуль ускорения .
2. Дополнения к главе 1 «Кинематика точки»