Рассматриваются интегралы типа . Если есть ещё и зависимость от или , то всё равно их можно записать через синус и косинус, поэтому можем считать, что вид именно такой: именно
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она иногда приводит к громозким вычислениям, зато универсальна. При этой замене:
, , , .
(ДОК 4)
Доказать, что при замене синус и косинус преобразуются по следующим формулам: , .
Можно записать по формуле двойного угла, рассматриввая целый угол как удвоенный половинный:
= = чтобы всё выразилось через , которое равно желательно добиться того, чтобы синус и косинус половинного угла делились друг на друга. Для этого мы можем поделить и домножить на косинус ещё раз:
= = .
Вспомним, что , тогда далее получается
= .
Аналогично = = =
= = .
Пример. Вычислить интеграл. .
Решение. = .
Свели к рациональной дроби. Далее, преобразуем её: = = = .
Сделаем обратную замену, и получим ответ:
|
|
= .
Примечание. Можно сделать проверку: = , учтём, что по формуле понижения степени: , здесь , поэтому = = .