Определение 1. Функциональный ряд сходится в точке
, если числовой ряд
является сходящимся. Совокупность
таких точек (точек сходимости) называется множеством сходимости (или областью сходимости) ряда. Говорят ещё, что ряд поточечно сходится на множестве
. (Отметим, что
может быть совершено произвольным подмножеством числовой прямой.)
Пусть − полная сума, n -я частичная сумма и n -й остаток ряда.
. Поточечная сходимость ряда на множестве
означает, что
в каждой точке
.
Определение 2. Ряд равномерно сходится на множестве
, если
. Это означает другими словами, что последовательность частичных сумм
равномерно сходится
к сумме ряда
или
Ã
(т.к.
).
Ясно, что из равномерной сходимости следует поточечная сходимость на этом множестве, Обратная импликация не верна.
Контрпример.Рассмотрим на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Ряд равномерно сходится на множестве
тогда и только тогда, когда
.
|
|
Доказательство. Необходимость условия Коши сразу следует из равенства .
Предположим теперь, что условие Коши выполнено. Тогда последовательность поточечно фундаментальна и, следовательно, имеет
поточечный предел, скажем
. Кроме того, в силу условия Коши
, существует
номер
такой, что
будет всюду на множестве
. Переходя к поточечному пределу
, видим, что
всюду
или
.
Таким образом, Ã
.
Следствие (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если функциональный ряд мажорируется на множестве
сходящимся числовым рядом
(т.е.
), то данный функциональный ряд равномерно сходится
.
Доказательство. Если и при всех значениях
, а ряд
сходится, то
. Поэтому
.
В таком случае согласно критерию Коши ряд равномерно сходится на множестве
.
Признак Абеля равномерной сходимости ряда. Рассмотрим ряд вида .
Предположим, что выполнены следующие условия:
1) ряд равномерно сходится на множестве
,
2) последовательность равномерно ограничена
, т.е. существует такое положительное число
, что
,
3) при любом фиксированном значении
− монотонная последовательность.
В таком случае ряд равномерно сходится на множестве .
*Доказательство. Обозначим
остаток ряда
и
. Из условия 1) следует, что
, когда
. Оценим величину
.
.
Поэтому
ввиду монотонности последовательности
. Следовательно,
. Остаётся воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости ряда.