1) Из определения углового ускорения находится угловая скорость как функция времени: . (w 0 – константа интегрирования).
2) Из определения угловой скорости находится угол как функция времени: . (j 0 – константа интегрирования).
Для частного случая , получаем закон равнопеременного движения по окружности: – квадратичная зависимость угла поворота от времени
и линейная зависимость угловой скорости от времени .
При этом одинаковым знакам для угловых скорости и ускорения соответствует ускоренное движение, а разным знакам – замедленное.
Динамика вращательного движения
Работа при вращательном движении. Момент силы
Элементарная работа на пути ds=Rdj равна , где момент силы относительно оси вращения z (вращающий момент)
.
В векторном виде:
- векторное произведение.
Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции
.
.
Iz - момент инерции твердого тела, относительно оси z.
Моментом инерции материальной точки Ii называется величина:
.
Для N материальных точек
Для сплошного тела и для вычисления момента инерции твердого тела необходимо брать интегрирал (учтено, что dm=rd v).
Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.
Теорема Штейнера
,
где I0 - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.
Моменты инерции I0 для некоторых тел (относительно оси, проходящей через центр масс).
Для сплошного тела момент инерции
1. Обруч массой m и радиусом R с однородным распределением массы:
r d v = dm
2. Полый цилиндр – состоит из одинаковых обручей:
3. Сплошной цилиндр. Выделим элемент площади ds = 2p rdr,
элемент объёма d v = hds=2p rhdr.
4. Тонкий однородный стержень длиной L.
1) Ось проходит через середину стержня.
элемент массы dm = rdx (r – линейная плотность массы).
2) Ось проходит через конец стержня.
По теореме Штейнера
5. Шар. Разобьем шар на плоские цилиндры (блины) шириной dh: объём,
радиус и масса этого элементарного цилиндра
d v = p r 2 dh, r 2 = R 2 - h 2 , .
Момент инерции этого элементарного цилиндра .
Интегрируя по h от 0 до R и удваивая, получим
6. Шаровой слой. Внутренний и наружный радиусы: R 1 и R 2.
7. Сферическая оболочка.
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.