Пусть
, (*)
причем – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. Для нахождения общего решения (*) необходимо найти . Согласно методу Лагранжа, ищется в виде:
,
где и – неизвестны. Так как неизвестных функций две, а уравнение одно, то накладывается еще одно произвольное условие с целью упростить решение. Пусть
и потребуем, чтобы
,
– это и есть дополнительное условие, то есть .
Далее,
.
Подставим последнее выражение в уравнение (*), получим
,
поскольку и . Получили следующую систему уравнений:
.
Эта система имеет решение относительно и , так как ( и линейно независимы). Отсюда
, ,
, ,
,
.
На практике можно пользоваться сразу готовыми формулами или выводить их для конкретного уравнения.
Пример:
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения есть
|
|
и .
Имеем систему уравнений
,
.
Заключение:
Таким образом, линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить, если суметь найти частное решение неоднородного уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения. Стандартного процесса нахождения общего решения неоднородного уравнения нет. Многие дифференциальные уравнения не интегрируются в элементарных функциях.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним