Для волны, бегущей по оси x:
.
Для волны, бегущей против оси x:
, см. (15.2.3), (15.2.4), (15.2.5).
Для простоты мы положили равным нулю значение начальных фаз этих волн. Сумма этих уравнений и дает уравнение стоячей волны:
Амплитуда стоячей волны
- это модуль выражения, стоящего перед множителем Cosωt, т.е.
Узлы и пучности
Поверхность, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Для узлов:
Следовательно, координаты узлов:
Поверхность, где амплитуда колебаний достигает максимума, называют пучностями стоячей волны.
Для пучностей:
Координаты пучностей:
Колебания струны, закрепленной с двух концов
В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выборе начала координат на одном из концов струны следует записать через функцию Sin kx, т.е.
.
Тогда условие будет выполнено. Для выполнения граничного условия на другом конце струны мы должны потребовать, чтобы
.
Это приводит к квантованию волнового числа, т.е. k может принимать не любые значения, а только дискретные, определяемые равенством:
|
|
т.к.
то
Вдоль струны должно укладываться целое число полуволн! Из (15.1.7) и мы получаем спектр (набор) частот, на которых может колебаться закрепленная с двух концов струна:
Частота v1 называется основным током, v2 - первым обертоном и т.д.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ,
Использованный при написании II части конспекта лекций по физике
- Савельев И. В. Курс общей физики.-М.: Наука, 1982.-т.2.
- Савельев И. В. Курс физики.-М.: Наука, 1989.-т.2.
- Трофимова Т. И. Курс физики. -М.: Высшая школа, 1990.
- Зисман Г.А., Тодес О. М. Курс общей физики.-М.: Наука, 1972.
- Кроуфорд Ф. Волны.-М.: Наука, 1974.
- Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс Н. Фейинановские лекции по физике.-М.: Мир, 1976, т.3.
- Физический энциклопедический словарь./ Гл. редактор Прохоров А. Н., -М.: Советская энциклопедия, 1973.