Пример 3.7. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному жёлобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются отрицательные заряды и на расстоянии друг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.
Решение. 1) Выберем систему координат так, что её начало – в положении равновесия шарика, а ось направим вдоль линии, на которой расположены заряды, в направлении от 1-го заряда ко 2-му (рис.3.1). Обозначим как и расстояния от положения равновесия шарика до зарядов.
Рис.3.1. Система из трёх линейно расположенных зарядов. |
. (3.12)
В положении равновесия , поэтому
, (3.13)
откуда получим расстояние от шарика до 1-го заряда в положении равновесия
. (3.14)
3) Используя 2-й закон Ньютона, запишем дифференциальное уравнение, описывающее движение шарика вдоль оси
, (3.15)
где – масса шарика. С учётом (3.12) уравнение (3.15) принимает вид
. (3.16)
4) Исследуем положение равновесия (3.14) на устойчивость по линейному приближению, линеаризовав по уравнение (3.16). Для этого разложим проекции сил (3.12) по степеням , ограничившись линейными членами:
.
Вычисляя, имеем
,
поэтому
. (3.17)
Подставляя (3.17) в (3.15), получим линеаризованное уравнение
,
которое с учётом (3.13) принимает вид линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
. (3.18)
5) Характеристическое уравнение для (3.18) имеет вид
,
а его корни – действительные
,
причём , поэтому положение равновесия шарика – неустойчивое.
Ответ. В положении равновесия расстояние от шарика до 1-го заряда , равновесие неустойчивое.
3.6.1. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются положительные заряды и на расстоянии друг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.
3.6.2. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются заряды и на расстоянии друг от друга, причем положительный заряд ближе к шарику, чем отрицательный. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.
3.6.3. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному жёлобу. Справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются заряды и на расстоянии друг от друга, причём отрицательный заряд ближе к шарику, чем положительный. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.
3.6.4. Верхняя обкладка плоского воздушного конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения , подвешена на пружине жёсткости , нижняя – неподвижна, причём в положении равновесия расстояние между обкладками равно . Площадь каждой из обкладок , электрическая постоянная . Исследовать положение равновесия верхней обкладки на устойчивость. Краевыми эффектами пренебречь.
3.6.5. Верхняя обкладка плоского воздушного конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения , подвешена на пружине жёсткости , нижняя – неподвижна, причём в положении равновесия расстояние между обкладками равно . Площадь каждой из обкладок , электрическая постоянная . Исследовать положение равновесия верхней обкладки на устойчивость. Краевыми эффектами пренебречь.