Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа
Эти уравнения являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Известно, что . С другой стороны, из теоремы Гаусса . После подстановки получаем:
Вынесем знак минус за знак дивиргенции:
Вместо запишем его эквивалент ; вместо div напишем .
Тогда или
. | (40.1) |
Уравнение (40.1) называют уравнением Пуассона.
В областях, не занятых свободными зарядами (), уравнение (40.1) принимает вид:
, | (40.2) |
и называется уравнением Лапласа.
Граничные условия
При интегрировании уравнений Пуассона и Лапласа в решение входят постоянные интегрирования, которые могут быть определены из граничных условий.
Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границе раздела сред с разными электрическими свойствами.
Проводящее тело в условиях электростатики
Если проводящее тело поместить в электростатическое поле напряженностью Е 0 (рис.40.1), то в нем происходит разделение зарядов. Свободные электроны перемещаются к одной поверхности, которая получает отрицательный заряд, а противоположная поверхность получает такой же положительный заряд.
|
|
Явление смещения свободных заряженных частиц на поверхность проводника, помещенного в электрическое поле, называется электростатической индукцией.
В результате разделения зарядов в проводящем теле создается внутреннее электрическое поле с напряженностью Е м, направленное противоположно внешнему. Движение свободных зарядов в проводящем теле при электростатической индукции существует кратковременно, но продолжается до тех пор, пока напряженности внешнего и внутреннего полей не станут равными.
При равенстве Е 0 = Е М разделение зарядов в проводящем теле прекращается, так как результирующая напряженность электрического поля равна нулю.
Благодаря наличию в проводящем теле свободных заряженных частиц электростатическое поле в нем существовать не может.
Все точки поверхности проводящего тела имеют одинаковый потенциал. Если бы между какими-либо двумя точками возникла разность потенциалов, то по поверхности проводящего тела потек бы ток, что в принципе противоречит понятию электростатического поля. Следовательно, поверхность проводящего тела является эквипотенциальной.
Если в электрическое поле поместить проводящее тело с полостью внутри, то и в этом случае заряженные частицы будут только на поверхности. Внутри металла и внутри полости электрическое поле отсутствует.
Это свойство проводящих тел используется для электростатического экранирования, т.е. для защиты какого-либо устройства от действия внешнего электростатического поля (либо для защиты окружающего пространства от действия электростатического поля, создаваемого этим устройством). С этой целью защищаемый объект помещают в металлическую коробку или сетку с малыми отверстиями (экран). При этом толщина стенки экрана может быть достаточно малой
|
|
(например, фольга).