Рассматриваемый метод реализует третий подход из представленных в концепции. Предварительно исходное уравнение f(x) = 0 преобразуют к виду φ(х)=x, что является частным случаем более общей структуры g(х) =f(х). Затем выбирают начальное значение х0 и подставляют его в левую часть уравнения, но φ(х0) ≠ х0, поскольку х0 взято произвольно и не является корнем уравнения. Полученное φ(х0) =х1 рассматривают как очередное приближение к корню. Его снова подставляют в левую часть уравнения φ(х1) и получают следующее значение х2 (х2 =φ(х1)) и т.д., в общем случае xi+1=φ(xi) Получающаяся таким образом
Последовательность при определенных условиях может сходиться к корню х* (рис. 10).
Таким условием является причем чем ближе модуль к нулю, тем выше окажется скорость сходимости к решению. В противном случае последовательность расходится от искомого решения (“метод не сходится”).
На рис. 11 приведен один из возможных случаев, когда итерационный процесс не сходится. Видно, что последовательность х0, х1, х2…, удаляется от корня x*. Это всегда будет иметь место в том случае, если тангенс угла наклона φ(x) в окрестности корня по модулю больше единицы.
|
|
Существуют различные способы преобразования уравнения
f(х) = 0 к виду φ(х) =х; одни могут привести к выполнению условия сходимости всегда, другие — в отдельных случаях. Самый простой способ следующий:
но он не всегда приводит к успеху. Существует другой способ, в соответствии с которым φ(х)=х -f(х)/ к, причем & следует выбирать так, чтобы | к|>Q/2, где и знак к совпадал бы со знаком f '(x) на [a, b].
Погрешность решения можно оценить из соотношения
Вследствие этого для окончания вычислений в методе итераций применяют соотношение— заданная погрешность решения.
Часто используют упрощенное условие окончания поиска
не вычисляя максимальное значение производной, но в этом случае погрешность решения может не соответствовать заданной (т.е. быть больше или меньше).
Пример.
Имеем уравнение 2х + lg(2х +3) = 1. Необходимо уточнить корень с погрешностью ɛ < 0,001.
Запишем f(х)=2х +lg(2х +3)-1. Проведя процедуру отделения корней, получим, что корень находится в промежутке [0,0,5], т.е. а= 0, b =0,5. Приведем уравнение к виду, удобному для итераций φ(x)=x Функцию φ(x) будем искать из соотношения φ(х)=х-f(x)/к, считая для повышения сходимости, что| k| ≥ Q/2, где Q = mах | f(x)|; число k имеет тот же знак, что и f '(x) в промежутке [0, 0,5].
Находим
За начальное приближение возьмем х0 =0, все остальные приближения будем определять из равенства
результаты сведем в табл. 5.
|
|
Таблица 5 |
Ответ: х = 0, 230.