ОПИСАНИЕ МЕТОДА.
Обобщим метод Ньютона, изложенный в пункте 1 для решения одного нелинейного уравнения, на решение систем нелинейных уравнений. При этом будем исходить из трактовки метода Ньютона как метода линеаризации.
Предположим, что исходя из начального приближения к решению построены приближения . Заменим в системе
(*)
каждую из функций линейной частью её разложения по формуле Тейлора в точке :
.
В результате придём к системе линейных алгебраических уравнений:
,
,
...............
,
имеющей в матричной форме записи вид:
. (2.1)
Здесь - матрица Якоби. .
Предположим, что матрица невырожденная, т.е. существует обратная матрица . Тогда система (2.1) имеет единственное решение, которое принимается за очередное приближение к решению . Таким образом, приближение удовлетворяет равенству:
, (2.2)
выражая из которого , выводим итерационную формулу метода Ньютона:
|
|
. (2.3)
Замечание.
Формула (2.3) предполагает использование трудоёмкой операции обращения матрицы, поэтому непосредственное её использование для вычисления в большинстве случаев нецелесообразно. Обычно вместо этого решают эквивалентную системе (2.2) систему линейных алгебраических уравнений:
(2.4)
относительно поправки . Затем полагают:
(2.5)
СХОДИМОСТЬ МЕТОДА.
Сформулируем основную теорему о сходимости метода Ньютона.
Теорема 3.
Пусть в некоторой окрестности решения системы (*) функции дважды непрерывно дифференцируемы и матрица невырождена. Тогда найдётся такая малая - окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:
, .
Эта оценка означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.
Квадратичная скорость сходимости метода Ньютона позволяет использовать простой практический критерий окончания:
. (2.6)
Пример 3.
Используя метод Ньютона, найдём с точностью решение , системы .
Возьмём , и будем вести вычисления по формулам (2.4), (2.5), в которых
, .
Результаты вычислений с шестью знаками мантиссы приведены в табл. 2.
Табл. 2
При критерий окончания выполняется и можно положить , .