1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1 не має коренів?
Рішення: перетворимо задане рівняння: 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1; 15·10 х + n· 10х + 1 = n + 20; 10 х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 х = .
Рівняння не буде мати рішень при ≤ 0, оскільки 10 х завжди позитивно.
Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
Відповідь: .
2. Знайдемо всі значення параметра а, при яких рівняння lg2 (1 + х2) + (3а – 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не має рішень.
Рішення: позначимо lg(1 + х2) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z2 + (3а – 2) · z + а2 = 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 – 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2 – 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.
Відповідь: (0,4; 2).
3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2 a – 7 має рішення.
Рішення: перетворимо задане рівняння:
cos2x + a sinx = 2 a – 7; 1 – 2sin2х – asinx = 2 a – 7; sin2х - a sinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) · = 0.
Рішення рівняння (sinх – 2) · = 0 дає:
(sinх - 2) = 0; х належить порожній множині.
|
|
sinх - = 0; х = (-1)n arcsin + πn, n Z при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а ≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.
Відповідь: 6.
4. Указати найбільше ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння 4х2 - 2х + а = 0 належить інтервалу (- 1; 1).
Рішення: корінь заданого рівняння рівні: х1 = (1+ )
х2 = , при цьому а ≤ .
За умовою -1 < (1+ ) < 1 < < 3,
- 1 < < 1 > > - 3.
Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.
Нерівність - 3 < виконується при всіх а ≤ , нерівність < 3 – при - 2 < а ≤ . Таким чином, припустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .
Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0.
Відповідь: 0.
5. При яких значеннях параметра а число корінь рівняння
2 - х = 0 дорівнює а?
Рішення: побудуємо ескіз графіка функції, в = 2 - х при цьому врахуємо, що функція в – парна і її графік – симетричний щодо осі ординат, у силу чого можна обмежитися побудовою тільки його правої частини (х ≥ 0). Також урахуємо, що тричлен х2 - 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, а при х = 4 – мінімум, рівний – 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола
в = х2 - 8х + 7 з мінімумом умін рівним - 9 при х хв = 4, і коріннями х1 = 1 і х2 = 7;
суцільними лініями зображена частина параболи в = 2 – 8х + (1 < х < 7), отримана дзеркальним відбиттям щодо осі 0х частини параболи
х2 - 8х + 7 при 1 < х < 7.
(Ескіз лівої частини графіка функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка симетрично щодо осі 0у).
|
|
Проводячи горизонталі в = а, а N, одержуємо k крапок її перетинання з лініями ескізу графіка. Маємо:
а | 0 | [1; 6] | 7 | 8 | 9 | |
к | 4 | 8 | 7 | 6 | 4 | 2 |
Таким чином, а = k при а = 7.
Відповідь: 7.
6. Указати значення параметра а, при якому рівняння
х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 4 = 0 має три різних корені.
Рішення: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.
Корінь заданого рівняння рівні:
х =
Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а – 1) = (2а – 1)2 = 17 – 4а
4а2 – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.
Відповідь: 2.
Указати ціле значення параметра p, при якому рівняння
cosx – 2sinx = + має рішення.
Рішення: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 р ≤ 2; поєднуючи припустимі значення параметра р, маємо:
0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 вихідне рівняння приймає вид – 2sinх = 2 х належить порожній множині (у силу обмеженості синуса).
При р = 1 вихідне рівняння приймає вид:
cosx-2sinx = +1.
Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить
= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =
sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , що менше +1.
Отже, при р = 1 рівняння рішень не має.
При р = 2 вихідне рівняння приймає вид
.
Максимальне значення різниці становить при х = arctg(- ) (при цьому sinx = , cosx = ). Оскільки > +1, то рівняння = буде мати рішення.
Відповідь: 2.
8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння не має рішення.
Рішення: х ≠ 0, n? 10.
Рівняння х2 – 8х – n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0 n2 -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.
У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.
Відповідь: 6.
9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння
(0 < х < ) має рішення.
Рішення: за умовою 1 > sinx > 0 1 < < + ,
1 > cosx > 0 1 < < + ,
Отже, 2 < а < + .
Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо:
= а2 = а2
= а2.
Уведемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вид:
z2 + 2z – а2 = 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант
D = 1 + а2позитивний при будь-якому а.
З огляду на, що 2 < а < + , містимо, що найменше ціле значення параметра а, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Висновок
Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями» і якоюсь мірою одержали нові.
По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.
Література
1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами. – К., 2002.
2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у вузи. – К., 1994р.
3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р.
4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.
5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004
6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.