********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим =>
.
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
, т.е.
.
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
,
,
(28),
,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´), => c =
(30´),
(29´)
(28´), => b =
1 (28´),
(24´), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Случай 3.
(12)
(13′)
(14)
(15′), которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
-
=>
.
Выразим из (31) и (16) :
|
|
=>
(32)
=>
(33)
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель
.
Т.о., имеют вид:
(34),
(35), а их сумма
.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и
.
Из (15´) с учетом (20) выразим :
, т.е.
(24´).
Т.о. ,
, где
, т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е.
.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим =>
(29´´).
Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
, т.е.
(30´´).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
(30´´),
,
(28),
(24´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), =>
(30´´´),
(29´´´),
(28´), => b =
(28´),
(24), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).
|
|
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С
= В
= N
= К
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 2. (12´)
(30´)
(13´) (28) (13)
(28´)
(14) (29) (14´)
(29´)
(15) (24) (15´)
(24´)
3. (12) (30´´) 4. (12´)
(30´´´)
(13´) (28) (13)
(28´)
(14) (29´´) (14´)
(29´´´)
(15´) (24´) (15)
(24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = - C
b 2 = - B b 2 = B b2 = - B b2 = B
= - N
= N
= - N
= N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12),
(13´),
(14´),
(15), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):
(41),
, где
- взаимно простые нечетные целые
(40),
(38´), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b
(32),
(24)
(31) => с =
(31),
(29´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.
(31´),
(29),
(32´),
(24´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7.
(12),
(13´),
(14´),
(15´), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):
(40),
(38´´´),
(41´´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с =
(31),
(29´´´),
(32´´) => b
(32´´),
(24´), где
-