2020-01-14
3666
Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два, а за ряд последовательных периодов. Следовательно, возникает необходимость построения индексов за ряд этих последовательных периодов, которые образуют индексные системы. Такие системы характеризуют изменения, происходящие в изучаемом явлении в течение исследуемого периода времени.
В зависимости от базы сравнения индексы бывают базисными и цепными.
В системе базисных индексов сравнения уровней индексируемого показателя в каждом индексе производится с уровнем базисного периода, а в системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.
Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.
Ряды индивидуальных индексов просты по построению. Так, например, обозначив четыре последовательных периода подстрочными значениями 0, 1,2, 3, исчисляем базисные и цепные индивидуальные индексы цен:
базисные индексы: 
; 
; 
;
|
|
|
цепные индексы: 
; 
; 
.
Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим — произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода:
.
Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода:
; 
.
Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.
Рассмотрим возможность применения цепного метода исчисления для агрегатных индексов.
Как известно, в каждом отдельном индексе веса в его числителе и знаменателе обязательно фиксируются на одном и том же уровне.
Если же строится ряд индексов, то веса в нем могут быть либо постоянными для всех индексов ряда, либо переменными.
Рассмотрим построение базисных и цепных индексов на примере агрегатных индексов цен и физического объема продукции.
Базисные индексы:
•индексы цен Пааше (с переменными весами):
; 
; …; 
;
•индексы цен Ласпейреса (с постоянными весами):
; 
; …; 
;
•индексы физического объема продукции (с постоянными весами):
; 
; …; 
.
Цепные индексы:
индексы цен Пааше (с переменными весами):
; 
; …; 
;
индексы цен Ласпейреса (с постоянными весами):
; 
; …; 
;
индексы физического объема продукции (с постоянными весами):
; 
; …; .
Итак, в базисных агрегатных индексах все отчетные данные сопоставляются только с базисными (закрепленными) данными, а в цепных — с предыдущими (в данном случае — смежными) данными.
|
|
|
Период весов во всех индексах цен Пааше взят текущий (индексы с переменными весами), в индексах физического объема и индексах цен Ласпейреса — закрепленный (индексы с постоянными весами).
Постоянные веса (не меняющиеся при переходе от одного индекса к другому) позволяют исключить влияние изменения структуры на значение индекса.
Ряды агрегатных индексов с постоянными весами имеют преимущество — сохраняется взаимосвязь между цепными и базисными индексами, например, в ряду агрегатных индексов физического объема:
,
или в ряду агрегатных индексов цен Ласпейреса:
.
Таким образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет переходить от цепных общих индексов к базисным и наоборот.
В рядах агрегатных индексов качественных показателей, которые строятся с переменными весами (например, ряд цен Пааше), перемножение цепных индексов не дает базисный:
.
Для таких индексов переход от цепных индексов к базисным (и наоборот) невозможен. Вместе с тем, в статистической практике часто возникает необходимость определения динамики цен за длительный период времени на основе цепных индексов цен с переменными весами. Тогда для получения приближенного базисного (итогового) индекса цепные индексы цен перемножают, заведомо зная, что в таком расчете допускается ошибка. Отдельные индексы этого ряда используются для пересчета стоимостных показателей отчетного периода в ценах предыдущего года. Основные формулы для расчета общих индексов приведены в таблице 1.
Основные формулы начисления общих индексов.
| Наименование индекса | Формула расчёта индексов | |||
| Индивидуальный индекс | Агрегатный индекс | Средний индекс | ||
| Индекс физического объёма продукции
| в ценах базисного периода |
| 
| 
|
| в ценах отчётного периода | 
| 
| ||
| Индекс цен | с базисными весами (формула Ласпейреса) |
| 
| 
|
| С отчётными весами (формула Паше) | 
| 
| ||
| Индекс стоимости продукции (товарооборота) |
| |||
| Индекс себестоимости продукции | 
| 
| 
| |
| Индекс издержек производства |
| |||
| Индексы производительности труда | 
| 
| 
| |
Задача 1.
Известны результаты обследования группы водителей автобусов за месяц
| Табельный номер | Класс водителя | Процент выполнения нормы выработки | Месячная зарплата, руб. | Табельный номер | Класс водителя | Процент выполнения нормы выработки | Месячная зарплата, руб. |
| 1 | I | 105,2 | 280,8 | 13 | II | 104,8 | 160,8 |
| 2 | II | 102,3 | 180,3 | 14 | II | 110,5 | 190,0 |
| 3 | I | 106,8 | 207,0 | 15 | III | 109,7 | 181,0 |
| 4 | III | 100,0 | 150,0 | 16 | I | 108,3 | 235,0 |
| 5 | II | 113,5 | 210,5 | 17 | III | 112,0 | 175,0 |
| 6 | I | 100,7 | 210,4 | 18 | II | 100,8 | 165,0 |
| 7 | III | 110,2 | 180,0 | 19 | III | 100,0 | 148,0 |
| 8 | III | 117,2 | 210,0 | 20 | I | 112,0 | 230,0 |
| 9 | II | 119,7 | 230,2 | 21 | II | 114,1 | 200,0 |
| 10 | III | 115,0 | 200,0 | 22 | III | 106,3 | 179,0 |
| 11 | I | 115,2 | 240,9 | 23 | II | 107,8 | 170,0 |
| 12 | III | 104,2 | 162,0 | 24 | I | 104,8 | 218,7 |
Построить комбинационную таблицу, отражающую зависимость заработной платы водителей автобусов от их квалификации и процента выполнения норм выработки
Решение:
Сначала находим величину интервала для группировки по проценту выполнения нормы выработки:
Теперь построим аналитическую комбинационную таблицу:
| Класс водителя | Процент выполнения нормы выработки (%) | Месячная зарплата, руб. | Табельный номер |
| I | 100-105 | 210,4 | 6 |
| 218,7 | 24 | ||
| 105-110 | 207,0 | 3 | |
| 235,0 | 16 | ||
| 280,8 | 1 | ||
| 110-115 | 230,0 | 20 | |
| 115 и более | 240,9 | 11 | |
| II | 100-105 | 180,3 | 2 |
| 160,8 | 13 | ||
| 165,0 | 18 | ||
| 105-110 | 170,0 | 23 | |
| 110-115 | 190,0 | 14 | |
| 200,0 | 21 | ||
| 210,5 | 5 | ||
| 115 и более | 230,2 | 9 | |
| III | 100-105 | 148,0 | 19 |
| 150,0 | 4 | ||
| 105-110 | 162,0 | 12 | |
| 179,0 | 22 | ||
| 181,0 | 15 | ||
| 110-115 | 175,0 | 17 | |
| 180,0 | 7 | ||
| 115 и более | 200,0 | 10 | |
| 210,0 | 8 |
Задача 2.
Производство автомобилей всех видов увеличилось в 2000 г. по сравнению с 1990 г. в 2,4 раза, а грузовых − на 50 %. Определите долю грузовых автомобилей в 1990 г., если известно, что в 2000 г. она составила 5 %.
|
|
|
Решение:
Число всех автомобилей в 2000 г. составило 240%, от числа а/м в 1990 г. а число грузовых автомобилей составило 150%; Доля грузовых автомобилей 5%;
1. Определим долю грузовых автомобилей в 1990 г.
Ответ: Доля грузовых автомобилей в 1990 г. составляла 8%.
Задача 3.
По четырем заводам, производящим продукцию А, имеются следующие данные.
| Номер завода | Затраты времени на единицу продукции, мин. | Производство продукции, шт. |
| 1 | 40 | 1200 |
| 2 | 42 | 1000 |
| 3 | 50 | 800 |
| 4 | 38 | 200 |
Определите среднее значение затрат времени на изготовление единицы продукции по четырем заводам, размах, среднелинейное и среднеквадратическое отклонение.
Решение:
1. Определим среднее значение затрат времени на изготовление единицы продукции по четырем заводам:
;
2. Определим размах:
;
3. Определим среднее линейное отклонение:
4. Определим среднеквадратическое отклонение:
Ответ:
Среднее значение затрат времени на изготовление единицы продукции по четырем заводам составляет 43 минуты; размах - 12 минут; среднее линейное - 3,5 минуты; и среднеквадратическое отклонение - 4,18 минут
Задача 4.
В результате 10% случайной бесповторной выборки рабочих завода получены следующие данные о распределении их по проценту выполнения норм выработки:
| Группы рабочих по % выработки | До 100 | 100-110 | 110-120 | 120-130 | 130 и выше |
| Число рабочих | 10 | 18 | 32 | 20 | 10 |
С вероятностью 0,954 определите предельную ошибку выборочной доли для рабочих, у которых норма выработки не превышает 110%.
Решение:
Доля рабочих в выборочной совокупности у которых норма выработки не превышает 110% составляет:
;
где m – число рабочих у которых норма выработки не превышает 110% (m=10+18=28).
n – общее число рабочих в выборочной совокупности. (n=10+18+32+20+10=90)
Предельная ошибка доли с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент 
) при бесповторном отборе:
где N – численность рабочих завода (N=90/10*100=900)
Ответ:
С вероятностью 0,954 предельная ошибка выборочной доли рабочих, у которых норма выработки не превышает 110% в генеральной совокупности находится в пределах:
|
|
|
Задача 5.
Приведите уровни следующего ряда динамики, характеризующего численность рабочих предприятия, к сопоставимому виду (чел.):
| Показатель | 1987 | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 |
| Численность рабочих на 1 января | 420 | 429 | 437 | 431 | 439 | 445 | 455 | 465 | 465 |
| Среднегодовая численность рабочих | 425 | 433 | 434 | 435 | 442 | 450 | 460 | 465 | 475 |
Решение:
1. Среднегодовая численность рабочих:
в 1987 году (420+429)/2=425(чел.)
в 1988 году (429+437)/2=433(чел.)
в 1989 году (437+431)/2=434(чел.)
2. Численность рабочих на 1 января:
в 1991 году 435*2-431=439(чел.)
в 1992 году 442*2-439=445(чел.)
в 1993 году 450*2-445=455(чел.)
в 1994 году 460*2-455=465(чел.)
в 1995 году 465*2-465=465(чел.)
Задача 6.
Имеются следующие данные:
| Товар | Отчетный период | Базисный период | Индивидуальные индексы, % | |||
| Цена за 1 кг, тыс. руб. | Количество, ц | Цена за 1 кг, тыс. руб. | Количество, ц | цен | физического объема реализации | |
| 1 | 15,1 | 271,9 | 14,7 | 270,8 | 102,7 | 112,5 |
| 2 | 7,2 | 139,1 | 8,3 | 131,6 | 86,7 | 105,7 |
| 3 | 13,3 | 314,6 | 13,7 | 249,9 | 96,8 | 125,9 |
Определите:
а) недостающие показатели в таблице;
б) сводные индексы цен, физического объема реализации и стоимости товарооборота.
Решение:
1. Определим недостающие показатели в таблице, исходя из формул:
Индивидуальный индекс физического объема: 
;
Количество товара №1 в отчетном периоде 
ц.
Количество товара №2 в отчетном периоде 
ц.
Количество товара №3 в базисном периоде 
ц.
Индивидуальный индекс цен: 
;
Цена за 1 кг товара №3 в отчетном периоде 
тыс. руб.
Индивидуальный индекс цен товара № 1 
;
Индивидуальный индекс цен товара № 2 
;
2. Сводный индекс цен:
;
тыс. руб.
3. Сводный индекс физического объема реализации:
тыс. руб.
4. Сводный индекс стоимости товарооборота:
тыс. руб.
5. Взаимосвязь:
тыс. руб.
Ответ: Ip=98.3%, Iq=111.3%, Ipq=109.4%/
Задача 7.
По предприятию за I квартал имеются следующие данные.
| Показатель | План | Отчет |
| Выпуск валовой продукции, тыс. руб. | 1800 | 2016 |
| Средняя списочная численность работников | 1200 | 1300 |
Определить абсолютное изменение объема валовой продукции предприятия в отчетном периоде по сравнению с планом общее, а также за счет изменения квартальной производительности труда и численности работников, используя метод факторного анализа.
Решение:
1. Определим уровень производительности труда:
за плановый год:
тыс. руб/чел;
за отчетный год:
тыс. руб/чел;
где: Q – выпуск валовой продукции,
T – средняя списочная численность работников;
2. Определим абсолютный прирост объема валовой продукции:
тыс. руб.
Абсолютный прирост продукции за счет изменения численности рабочих равен
тыс. руб.
Абсолютный прирост продукции за счет изменения уровня производительности
труда равен:
тыс. руб.
Вывод: Выпуск валовой продукции увеличился на 216 тыс. руб.
За счет увеличения численности рабочих выпуск валовой продукции увеличился на 150 тыс. руб., а за счет производительности труда 65 тыс. руб.
Список использованной литературы
И. Е.Теслюк, В. А. Тарловская, И. Н. Терлиженко;
«Статистика»
Минск 1998
М. Р. Ефимова;
«Практикум по общей теории статистики»
С.А. Васнев;
«Статистика»
Московский государственный университет печати, 2001;
Ряузов Н.Н.
«Общая теория статистики»
М.: Финансы и статистика, 1984.
Сост. Г.Т. Максимов.
Сборник задач по курсу «Общая теория статистики»
для студентов инж.-экон. спец. Мн.: БГУИР, 1998.
