Для того чтобы получить разложение в ряд функции , достаточно воспользоваться формулой (3.7) и вычислить производные по значку , исходя из разложения (2.1), причем, ввиду соотношения (3.10), можно ограничиться рассмотрением случая целых положительных
Так как ряд (2.1), по доказанному, сходится равномерно по отношению к , мы можем дифференцировать его почленно и получим тогда [2]
где – логарифмическая производная гамма-функции.
Аналогично имеем
При и поэтому первые членов ряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись известными формулами теории гамма-функции
;
получим для таких
поэтому
где введен новый значок суммирования
Из формулы (3.7) следует, что искомое разложение функции Бесселя второго рода с целым положительным значком имеет вид
(4.1)
где в случае первую сумму надлежит положить равной нулю.
Значения логарифмической производной гамма-функции могут быть вычислены по формулам:
|
|
(4.2)
где – постоянная Эйлера,
Принимая во внимание равенство (1.2), мы можем представить разложение (4.1) в несколько другом виде, именно:
(4.3)
Из (4.1) вытекает, что при справедливы асимптотические формулы
(4.4)
показывающие, что когда