Произвольное падение на границу раздела

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СВЕТОВОДАХ

 

Падение плоской волны на границу раздела двух сред

 

Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Индексы i, r, t – относятся к падающей, отраженной и прошедшей волнам.

 

Нормальное падение

 

Для простоты напряженности поля плоской волны будем рассматривать как скалярные величины, подразумевая, что соответствующие векторы направлены так, как показано на рис. 1 (в начальный момент напряженность  направлена в сторону отрицательного направления оси y, а напряженность  – в сторону положительного направления оси z).

Волновые сопротивления и компоненты поля связаны следующими соотношениями

 

.                                                                       (1)

 

Рис. 1. − Отражение плоской волны от границы раздела двух сред при

нормальном падении

 

Знак “–“ для отраженной волны появляется вследствие учета изменения направления распространения волны и принятой скалярной формы записи компонент поля.

На границе раздела должны выполняться условия непрерывности касательных составляющих электрического и магнитного полей

 

.                                                                             (2)

 

Последние выражения позволяют получить полезное соотношение

 

.

 

При отражении волны в среде 1 от границы со средой 2 полное волновое сопротивление (волновое сопротивления для полного поля) равно волновому сопротивлению среды 2.

Из (1) и (2) легко получить коэффициенты отражения и прохождения для напряженности электрического поля:

 

.                                                                   (3)

 

Учитывая выражения для показателей преломления

 

 

получаем классические формулы

 

,                                                                                       (4)

где .

 

Выражение для вектора Пойнтинга и (3) позволяют получить формулы для коэффициентов отражения и прохождения по мощности

 

,

 

Прямые вычисления показывают, что

 

,

 

и это находится в полном согласии с законом сохранения энергии.

Произвольное падение на границу раздела

 

В этом случае необходимо рассмотреть два случая: Е – поляризации и Н- поляризации, которые отличаются ориентацией вектора Е падающей волны. При Е поляризации вектор в плоскости падения лежит вектор Е, а при Н поляризации – вектор Н. Однако рассмотрения двух случаев можно избежать, если воспользоваться принципом двойственности для уравнений Максвелла, согласно которому система уравнений Максвелла инвариантна относительно замены .

Этот принцип в нашем случае позволяет:

а) найти коэффициенты отражение и прохождения для магнитных полей, зная эти коэффициенты для электрических полей,

б) получить соответствующие выражения для случая Е поляризации, зная выражения для Н поляризации и наоборот.

Поэтому ниже мы рассмотрим только случай Н поляризации.

 

Рис. 2. − Наклонное падение плоской волны

 

Для упрощения процедуры нахождения R и T при наклонном падении плоской волны на границу раздела воспользуемся ещё одним соображением. В случае произвольного падения (рис. 2) можно всегда разложить волну на две плоские волны: одну, распространяющуюся в направлении ” -x”, вторую − в положительном направлении оси z. Для этого достаточно разложить поле Н в плоскости падения (пл. XZ) на две компоненты: H_x и H_z. Первая образует плоскую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела и она не претерпевает никакого отражения. Вторая – плоскую волну, нормально падающую на границу раздела (с волновым числом , согласно рис. 2) и приводящую к появлению отраженной и прошедшей волн. Таким образом, мы опять приходим к нормальному падению и можем воспользоваться уже полученными ранее выражениями. Однако при этом нужно учесть, что для рассматриваемой нормально падающей волны, волновые сопротивления будут определяться уже другими соотношениями, которые имеют следующий вид:

Н поляризация

 

,

,                                                           (5)

Е поляризация

 

,

,                                                             (6)

 

Рис. 3. − Зависимость коэффициента отражения от угла падения

 

Учитывая все сказанное, по (3) и (4) с учетом (5) и (6) получим следующие зависимости коэффициентов отражения и прохождения от углов падения q и преломления j.

Н поляризация

 

, ,                                                            (7)

 

Е поляризация

 

, .                                                             (8)

 

Это и есть классические формулы Френеля, которые мы получили достаточно просто.

Кривые зависимости коэффициентов отражения и прохождения от угла падения приведены на рис. 3.

Из (7), (8) и рис. 3. следуют известные закономерности.

1. Для Е поляризованной волны существует особый угол падения q_B, называемый углом Брюстера, при котором коэффициент отражения равен нулю. Это явление часто используют для получения поляризованного света при отражении (в частности, в газовых лазерах с этой целью используют окно Брюстера).

2. В случае нормального падения Н поляризованной волны на оптически более плотную среду (h>1) она приобретает при отражении фазовый сдвиг, равный p.

3. При отражении Н поляризованной волны от поверхности оптически менее плотной среды (h<1) имеет место предельный угол падения q_с, при котором выполняется условие

 

,                                                                                                      (9)

 

и который соответствует полному внутреннему отражению, поскольку в этом случае .

Физические процессы, происходящие при углах больших чем q=q_с, требуют более тщательного рассмотрения в силу их важности для анализа направленного распространения волн.