Корреляционный анализ

Для глубокого исследования взаимосвязи социально-экономических явлений используется корреляционно-регрессионный анализ. Цель корреляционно-регрессионный анализа - установить, с каким из показателей, включённых в группировку, наиболее тесно связан группировочный признак.

Наиболее разработанной в теории статистики является методология парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака х на результативный признак у и представляет собой многофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

Выделяются следующие основные виды связи:

. по направлению:

прямая;

обратная.

. по количеству признаков, между которыми заключается связь:

парная связь;

множественная.

. по тесноте связи:

функциональные;

корреляционные [8].

Корреляционный анализ позволяет определить изменения зависимой перемененной под влиянием одного или комплекса факторов; характеризует меру зависимости между результативным признаком и факторным; показывает меру тесноты связи между признаками.

Применение метода корреляции для анализа связи складывается из следующих последовательно решаемых вопросов:

Установление причин связи;

Отбор наиболее существенных признаков для анализа;

Определение формы связи и подбор математического уравнения для выражения существенных связей;

Расчет числовых характеристик корреляционной связи.

Корреляционная связь различается по форме, направлению и содержанию. Форма связи - характер различия среднего значения результативного признака с различиями факторного признака. Различают следующие формы связи:

линейная

= a+ bt

 

Равным различиям фактора соответствуют равные различия результативного признака.

криволинейная зависимость

Равным различиям х соответствует равномерно изменяющиеся различия результативного признака - это параболическая форма связи.

Равным различиям х соответствует уменьшающееся изменение результативного признака у. Это гиперболическая зависимость.

Равным различиям х соответствуют постепенно уменьшающиеся изменения у, причем у не имеет предела. Это логарифмическая связь.

 

Y = a + b *log x

 

Многие формы связи между социальными экономическими явлениями могут быть представлены степенной функцией

Содержание связи - материальное отношение между х и у, либо его отсутствие. Различают следующие зависимости между х и у:

-  причинная зависимость, при которой один фактор выступает как причина х, а другой как следствие этой причины у;

-  взаимосвязь х и у в системе взаимосвязей равная;

-  случайная корреляция - это в случае, когда между х и у нет зависимости, хотя коэффициент корреляции отличен от нуля;

-  множественность причин и связей, то есть переплетение видов и форм связей.

Уравнение, с помощью которого выражается аналитическая связь называется уравнением регрессии.

При проведении корреляционно - регрессионного анализа нужно соблюдать этапы его проведения:

. Качественный анализ сущности изучаемого явления

. Постановка задач и выбор факторных и результативных признаков

. Сбор статистического материала, его контроль

. Установление аналитической формы связи, расчет параметров уравнения связи и других количественных характеристик

. Определение тесноты связи

. Оценка статистической надежности выборочных показателей связи

. Интерпритация полученных характеристик, оформление результатов в виде таблиц и графиков [10].

Наметим показатели, которые будут включены в анализ при простой корреляции. Факторный признак - удой молока от 1 коровы, результативный - окупаемость затрат.

Таблица 16 - Исходные данные корреляционно - регрессионного анализа по хозяйствам Орловского района

Название предприятий	Производительность коров, ц Х	Окупаемость, % Y
ООО Авангард	22,0	107,5
ООО Звягинки	23,2	110,1
ООО Троицкое	21,9	95,9
ОАО ОПХ Красная Звезда	28,1	93,4
ЗАО Березки	23,2	81,2
ФГУП УПХ Лавровский	26,1	106,9
ООО Хлебороб	21,1	97,8
ООО Троицкое	22,8	94,4
ООО Орловские зори	23,4	85,0
ООО Фирма Ока	22,8	86,3
Итого	234,5	958,5
Ср. знач.	23,5	95,9

 

Установим форму связи между фактором и результатом. Для этого изобразим рисунок 4.

 

Рисунок 4 - Зависимость между удоем молока от 1 коровы и окупаемостью затрат по предприятиям

 

Исходные данные показывают, что между удоем молока от 1 коровы и окупаемость затрат имеется в основном прямо пропорциональная зависимость, поэтому форму связи определим как линейную.

Подготовим данные для корреляционно - регрессионного анализа.

Таблица 17 - Расчетные данные корреляционно - регрессионного анализа

Наименование предприятий	Производительность коров, ц Х	Окупаемость, % Y	X*X	Y*Y	X*Y
ООО Авангард	22,0	107,5	484,0	11551,2	2364,5
ООО Звягинки	23,2	110,1	539,5	12120,5	2557,2
ООО Троицкое	21,9	95,9	478,7	9198,3	2098,5
ОАО ОПХ Красная Звезда	28,1	93,4	789,5	8731,3	2625,5
ЗАО Березки	23,2	81,2	536,7	6590,9	1880,8
ФГУП УПХ Лавровский	26,1	106,9	678,8	11434,0	2786,0
ООО Хлебороб	21,1	97,8	446,4	9567,1	2066,5
ООО Троицкое	22,8	94,4	518,8	8902,8	2149,1
ООО Орловские зори	23,4	85,0	545,4	7219,4	1984,3
ООО Фирма Ока	22,8	86,3	521,4	7455,4	1971,5
Итого	234,5	958,5	5539,1	92771,1	22483,8
Ср. знач.	23,5	95,9	553,9	9277,1	2248,4

 

Определим тесноту связи между изучаемыми признаками, рассчитаем коэффициент корреляции.

 

σ_{x = ;} σ_x = 1,98;

σ_y = ; σ_y = 9,47

r = ; r = 0,027; D = 0,07%

 

Построим уравнение регрессии и определим параметры уравнения: y = a₀ + a₁x

 -55.93=10*a₀+224.96*a₁ a₀= 92,84

 -401.61=224.96*a₀+5178.37*a₁ a₁= 0,13

y=0,13*x+92,84

Э₁ = ; Э₁= 22,75

 

Коэффициенты эластичности позволяют сказать следующее: при увеличении удоя молока на 1% окупаемость уменьшается на 22,75 пункта.

Проведенный нами расчет коэффициента корреляции показал, что между производительностью коров и окупаемостью затрат есть связь прямая, так как r - положительное число и слабая корреляционная зависимость (r < 0,3). Коэффициент детерминации равный 0,07% говорит о том, что в семи случаях из 10000 на изменение окупаемости повлияла продуктивность коров в данных конкретных условиях, во всех других случаях на изменение окупаемости оказали влияние другие неучтенные факторы.

Корреляционное уравнение связи между удоем молока от одной коровы и окупаемостью затрат показывает, что окупаемость затрат изменяется в среднем на 0,13% при повышении удоя молока на 1ц.

Показатель окупаемостью затрат связан не с одним, а с несколькими факторами, поэтому следует применить множественный корреляционный анализ. При отборе факторов в математическую модель следует иметь в виду, что нецелесообразно включать в уравнение признаки, которые связаны друг с другом функционально или соотносятся как часть или целое. В уравнение связи должны быть включены факторы, оказывающие непосредственное влияние на результат.

В качестве второго факторного признак возьмём трудоемкость 1ц продукции, чел.-час.

Подготовим данные для множественного корреляционно-регрессивного анализа (таблица 18).

Таблица 18 - Исходные данные для множественного корреляционно-регрессионнго анализа

№ предприятий	Производительность коров, ц Х1	Трудоемкость 1ц, чел.-час. Х2	Окупаемость, % У	X1*X1	X2*X2	Y*Y	X1*X2	X1*Y	X2*Y
ООО Авангард	22,0	9,8	107,48	484	96,83	11551,2	216,4835	2364,5	1057,6
ООО Звягинки	23,2	9,2	110,09	539,5062	84,60	12120,5	213,6364	2557,2	1012,6
ООО Троицкое	21,9	9,6	95,908	478,7494	91,59	9198,3	209,4017	2098,5	917,9
ОАО ОПХ Красная Звезда	28,1	10,2	93,441	789,4608	104,78	8731,3	287,6106	2625,5	956,5
ЗАО Березки	23,2	9,3	81,185	536,6944	86,08	6590,9	214,9425	1880,8	753,2
ФГУП УПХ Лавровский	26,1	8,2	106,93	678,8137	67,16	11434,0	213,5135	2786,0	876,3
ООО Хлебороб	21,1	11,5	97,812	446,378	131,80	9567,1	242,5532	2066,5	1122,9
ООО Троицкое	22,8	11,3	94,355	518,7606	126,90	8902,8	256,5789	2149,1	1062,9
ООО Орловские зори	23,4	11,0	84,967	545,3934	120,25	7219,4	256,0976	1984,3	931,8
ООО Фирма Ока	22,8	12,4	86,345	521,3611	154,88	7455,4	284,1667	1971,5	1074,6
Итого	234,5	102,5	958,5	5539	1064,88	92771,1	2395	22483,8	9766,2
Ср. знач.	23,5	10,2	95,9	554	106,49	9277,1	239	2248,4	976,6

 

Установив перечень признаков-факторов можно записать соответствующее математическое уравнение теоретической линии множественной регрессии. В случае двухфакторной линейной регрессии уравнение связи имеет вид: Y = a₀+a₀ x₁+a₂ x₂

Рассчитаем парные и частные коэффициенты корреляции и на их основе совокупный коэффициент корреляции.

 

σ_y = ; σ_x1 = ; σ_x2 = ;

 

σ_y = 9,47; σ_x1 = 1,98; σ_x2 = 9,47

 

r _yx1 = ; r _yx1 = 0,027;_yx2 = ; r _yx2 = -0,487_x1x2 = ; r _x1x2 = -0,341

r _yx1(x2) = ; r_yx1(x2) = -0,18;

r _{yx2(x1) = ;} r _yx2(x1) = - 0,54_;

r _x1x2(y) = ; r _x1x2(y) = -0,375

R _yx1x2 = ; R _yx1x2 = 0,51.

 

Определим параметры уравнения множественной регрессии.

 

а₁= ; a₁ = -0,75;

а₂= ; a₂ = -4,21

а₀ = ; a₀ = 156,56;

 

Y = 156,56 - 0,75*x₁ -4,21*x₂

Определим коэффициенты эластичности:

 

Э₁ = ; Э₁= -0,184

Э₂= Э₂= - 0,45.

 

Парные коэффициенты корреляции измеряют тесноту связи между 2-мя признаками из рассматриваемых без учёта взаимодействия их с другими признаками.

На этом основании можно сказать, что связь тесная и обратная по направлению возникает между результативным и факторным признаком х₂ - трудоемкостью 1 ц молока, то есть при увеличении факторного признака результативный уменьшается (r_yx2 = -0,487). Связь между результативным признаком и фактором х₁ - удоем молока от 1 коровы - можно оценить как слабую и прямую (r_yx1 = 0.027). Связь между факторными признаками умереная и обратная.

Частные коэффициенты корреляции - характеризуют степень и влияние одного из признаков на другой при условии, что остальные переменные закреплены на постоянном уровне. Рассчитанные показатели вновь подтверждают, что наиболее тесная связь между х₂ и у.

Совокупный коэффициент корреляции R _yx1x2, характеризующий одновременное влияние факторных признаков на результативный, показывает, что связь между признаками сильная.

Коэффициенты эластичности позволяют сказать следующее: при увеличении удоя молока на 1% окупаемость уменьшается на 0,18 пункта, в то время как увеличение трудоемкости на 1% влечёт уменьшение окупаемости на 0,45 пункта.

Таким образом, результативный признак наиболее тесно связан с фактором х₂ - трудоемкостью.