Таблица 7
I | ![]() ![]() ![]() ![]() | замена откуда | ||
II | ![]() ![]() ![]() ![]() | подстановка (общий знаменатель дробей отсюда
| ||
III |
| подстановка | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
IV | Интегралы от биномиальных дифференциалов имеют вид: | ![]() |
| |
![]() |
| |||
![]() |
|
Пример 1.40.
. Это случай I из табл. 7. К цели приводит замена
. Продифференцируем замену
, отсюда
. Подставляем:
.
Пример 1.41.
. Это случай II из табл. 7. Подынтегральная функция является рациональной относительно
. Здесь
. Наименьшее общее кратное
. Следовательно, нужно сделать подстановку
:
Поделив числитель на знаменатель «уголком»,
получаем:
.
Пример 1.42.
. Это случай III из табл. 7. Сделаем замену:
:
|
|
. Получили интеграл вида
. Произведем замену:
;
.
Пример 1.43.
. Это интеграл от биномиального дифференциала (случай IV из табл. 7.). Здесь
. Поскольку
- целое число, сделаем замену:
. Таким образом,
.
Пример 1.44.
. Это интеграл от биномиального дифференциала (случай IV из табл. 7.). Здесь
. Поскольку
- целое число, сделаем замену:;
; получим:
. Интеграл
вычислим как интеграл от рациональной дроби. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби, предварительно разложив на множители знаменатель:
. Имеем:
, приведем правую часть к общему знаменателю и, отбросив его, получим:
. (12)
Полагая в (12) последовательно и
, получим:
, откуда
. Приравнивая в (12) коэффициенты при
, получаем:
, подставив в последнее равенство найденные значения
и
, имеем:
. Итак, получаем:
.
Пример 1.45.
. Хотя интеграл не подпадает ни под один из сл. I-IV из табл. 7, тем не менее, он сводится к сумме интегралов случая II:
. Имеем:
.
Аналогично вычисляется и второй интеграл.
.
Просуммировав их, окончательно получим:
.