- Понятие функции многих переменных. Примеры. График функции 2-х переменных. Линии уровня (кривые безразличия). Предел функции 2-х переменных в точке. Непрерывность функции 2-х переменных в точке.
- Частные и полные приращения функции в точке. Частные производные функции в точке, их геометрический смысл. Примеры.
- Дифференцируемость функции в точке и ее связь с непрерывностью. Примеры.
- Полное приращение и полный дифференциал функции в точке, их геометрические смыслы. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной как явно, так и неявно. Примеры.
- Частные производные высших порядков функции . Теорема о смешанных производных одного порядка. Примеры.
- Градиент функции многих переменных. Свойства градиента. Примеры.
- Производная по направлению. Способы её вычисления. Связь производной по направлению с градиентом. Примеры.
- Экстремумы функции . Необходимые условия существования экстремума дифференцируемой функции. Примеры.
- Экстремумы функции . Достаточные условия существования экстремума дифференцируемой функции. Примеры.
|
|
Практика по теме «Функции одной переменной: пределы, непрерывность» (примерные задачи):
- Исследовать функцию на непрерывность. Указать точки разрыва и их род, если они имеются: .
- Исследовать функцию на непрерывность. Указать точки разрыва и их род, если они имеются: .
- Используя только график функции указать её точки разрыва и определить их род .
- Вычислить предел .
- Вычислить предел .
- Вычислить предел .
- Найти вертикальные асимптоты графика функции .
- Найти наклонные асимптоты графика функции .
- Найти односторонние пределы функции в точке и выяснить характер разрыва в этой точке.
- Найти односторонние пределы функции в точке и выяснить характер разрыва в этой точке.
Практика по теме «Дифференцирование функции одной переменной» (примерные задачи):
- Найти дифференциал функции в точке , если .
- Найти уравнение касательной к графику функции в точке .
- Составить уравнение нормали к графику функции в точке .
- Найти точки экстремума функции .
- Найти точки перегиба графика функции .
- Найти , если функция задана параметрически .
- Вычислить приближенно значение числового выражения .
- Построить схематично график функции в окрестности точки М(1;-2), если известно что , .
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;1].
- Какой эскиз соответствует поведению функции y(x) в окрестности точки М, y’(M)=0, y’’(M)>0?
1) 2) 3) 4)
|
|
5) 6) 7) 8)
Практика по теме «Функции многих переменных» (примерные задачи):
- Найти и построить семейство линий уровня функции .
- Найти производную функции в точке в направлении наибыстрейшего роста функции.
- Найти производную функции в точке в направлении вектора .
- Найти производную функции в точке в направлении, составляющим с осью Ох угол в .
- Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке М(1;1;3).
- Найти точки экстремума функции .
- Найти в точке , если , , .
- Найти в точке , если , , .
- Найти , если , .
- Составить уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением в точке .
- Найти , если , .
- Найти , если , , , .