Лекция по «Математическому анализу» 30 марта 2020 года
(Записать в тетрадь конспект лекции)
Применение производной при вычислении пределов
Соотношения вида и принято относить к разряду неопределенностей при вычислении пределов.
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей и , который основан на применении производных.
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а и обращаются в нуль в этой точке: f (a)= g (a)=0. Пусть в окрестности точки а. Если существует предел , то .
Иначе: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Пример 1. Найти предел .
Решение: как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
.
Пример 2. Найти предел .
Решение:
.
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
|
|
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а, в этой окрестности , . Если существует предел , то .
Пример 3. Найти предел .
Решение:
Замечание. Если при вычислении предела по правилу Лопиталя вновь получается неопределенность или , то данное правило может быть применено еще раз. Это возможно только в том случае, если вновь полученные функции удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример 4. Найти предел .
Решение:
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называются основными. Неопределенности вида , , , сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.
1. Пусть , при . Тогда очевидны следующие преобразования:
или .
Пример 5. Вычислить предел .
Решение:
.
2. Пусть или и , или и , или и при . Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение А = .
Пример 6. Вычислить предел .
Решение: имеем неопределенность вида . Логарифмируем выражение , получим: . Затем находим предел:
,
т.е. . Отсюда и .
Пример 7. Вычислить предел .
Решение: имеем неопределенность вида . Логарифмируем выражение , получим: . Затем находим предел:
,
т.е. . Отсюда , и .