Рассмотрим некоторые из интегралов от тригонометрических функций. Виды интегралов и способы их вычисления приведем в табл. 2.
Таблица 2.
Вид интеграла | Метод интегрирования |
Общий случай | Замена |
, где | Замена |
, где | Замена |
, где | Замена |
Замена Если , то необходимо учитывать формулу | |
Замена Если , то необходимо учитывать формулу | |
Использовать формулы понижения степени: | |
Использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: |
Пример. Найти интегралы:
Решение.
Интегрирование простейших иррациональных функций
Определение. Иррациональностью от называют выражение, содержащее переменную в дробной степени.
Рассмотрим интеграл
,
где R рациональная функция по каждой из своих переменных; m 1, n 1, m 2, n 2,... целые числа.
Подстановка, рационализирующая подынтегральную функцию, имеет вид:
где S наименьшее общее кратное (НОК) чисел , т. е. наименьшее натуральное число, делящееся нацело на .
|
|
Пример. Проинтегрировать иррациональность .
Решение.
Тригонометрические подстановки
Рассмотрим интегралы, которые приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью надлежащей тригонометрической подстановки. Виды интегралов и способы их вычисления приведем в табл. 3.
Таблица 3.
Вид интеграла | Подстановка |
, или , | |
, или , | |
, или , |
Пример. Найти интегралы
а) б) в)
Решение.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ