Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Методические указания
по теме:
«Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Волгодонск
Определители матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений.
Определители и их свойства. Вычисления определителей.
Определителем n-го порядка называется число , записанное в виде квадратной таблицы
вычисляется по правилу (1), которое будет дано ниже. Элементы определителя обозначают , где i-номер строки, j- номер столбца, на пересечении которых располагается .
Любую строку или столбец определителя называют рядом.
Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , … .
Минором элемента называется определитель (n-1)-го порядка полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством:
Правила вычисления :
Для n=2
|
|
Для n=3
Для произвольного n (1)
Например:
Перечислим основные свойства определителей:
1. Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю.
Эти равенства (как и формулу (1)) можно считать правилом вычисления определителя. Первое из них называется разложением по его элементам i-той строки, а второе- разложением по элементам j-го столбца;
2. значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами и наоборот;
3. если поменять местами два параллельных ряда определителя то он изменит знак на противоположный;
4. определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;
5. если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя;
6. если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель так же равен нулю;
7. определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;
8. определитель не измениться, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число.