При определении ускорений точек плоской фигуры, прослеживается аналогия с методами определения скоростей.
1. Метод полюса. Также как и при определении скоростей, принимаем за полюс произвольную точку тела, ускорение которой нам известно, или мы можем его определить. Тогда, ускорение любой точки плоской фигуры равно сумме ускорений полюса и ускорения во вращательном движении вокруг этого полюса.
(58)
При этом составляющая определяет ускорение точки при ее вращении вокруг полюса . При вращении траектория движения точки будет криволинейной, а значит (рис. 66).
Тогда зависимость (58) принимает вид: (59)
Учитывая зависимости (51) и (52), получаем , .
2. Мгновенный центр ускорений.
Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка твердого тела, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.
59
Покажем, что в каждый данный момент времени такая точка существует. Принимаем за полюс точку , ускорение которой нам известно. Находим угол , лежащий в пределах , и удовлетворяющий условию . Если , то и наоборот, т.е. угол откладывается по направлению вращения . Отложим от точки под углом к вектору отрезок (рис. 67). Полученная такими построениями точка будет МЦУ.
|
|
Действительно, ускорение точки равно сумме ускорений полюса и ускорения во вращательном движении вокруг полюса : .
, . Тогда . С другой стороны, ускорение образует с направлением отрезка угол , который удовлетворяет условию: . Знак минус, т.к. вращение относительно полюса против хода часовой стрелки, а угол откладывается по часовой стрелки. Тогда .
Следовательно, и тогда .
Частные случаи определения МЦУ.
1. . Тогда , и, следовательно, МЦУ не существует. В этом случае тело движется поступательно, т.е. скорости и ускорения всех точек тела равны.
2. . Тогда , . Значит, МЦУ лежит на пересечении линий действия ускорений точек тела (рис.68а).
3. . Тогда , . Значит, МЦУ лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек тела (рис.68б).
4. . Тогда , . Значит, МЦУ лежит на пересечении лучей, проведенных к ускорениям точек тела под углом (рис.68в).
Из рассмотренных частных случаев можно сделать вывод: если принять точку за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры определится ускорением во вращательном движении вокруг МЦУ.
(60)
|
|
60
Тема 13. Сложное движение точки. Основные понятия. |
Сложным движением материальной точки называется такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или боле движениях. При таком движении положение точки определяют относительно подвижной и относительно неподвижной систем отсчета.
Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным движением точки. Параметры относительного движения условимся обозначать .
Движение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением точки. Параметры переносного движения условимся обозначать .
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным (сложным)движением точки. Параметры абсолютного движения условимся обозначать .
В качестве примера сложного движения, можно рассмотреть движение человека в движущемся транспорте (трамвай). В этом случае движение человека отнесено к подвижной системе координат – трамваю, и к неподвижной системе координат – земля (дорога). Тогда исходя из данных выше определений, движение человека относительно трамвая – относительно, движение вместе с трамваем относительно земли – переносное, а движение человека относительно земли – абсолютное.
Теорема о сложении скоростей точек в сложном движении. |
Будем определять положение точки радиусами – векторами относительно подвижной и неподвижной систем координат (рис. 69). Введем обозначения:
- радиус-вектор, определяющий положение точки относительно подвижной системы координат , ;
61
- радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы координат (точки ), относительно неподвижной системы координат (точки );
- радиус – вектор, определяющий положение точки относительно неподвижной системы координат ; , ;
Получим условия (ограничения), соответствующие относительному, переносному и абсолютному движениям.
1. При рассмотрении относительного движения, будем считать, что точка перемещается относительно подвижной системы координат , а сама подвижная система координат относительно неподвижной системы координат не перемещается. Тогда координаты точки будут меняться в относительном движении, а орт вектора подвижной системы координат изменяться по направлению не будут.
.
2. При рассмотрении переносного движения, будем считать, что координаты точки по отношению к подвижной системе координат зафиксированы, и точка перемещается вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной .
.
3. При абсолютном движении точка движется и относительно , и вместе с системой координат относительно неподвижной .
.
Тогда выражения для скоростей, с учетом (27), имеют вид:
, ,
.
62
Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютной скорости: (61)
Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной составляющих скорости.
Теорема о сложении ускорений точек в сложном движении. |
Используя зависимость (31), получаем выражения для ускорений:
Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютного ускорения:
.
Получили, что абсолютное ускорение точки не равно геометрической сумме относительной и переносной составляющих скоростей. Определим составляющую абсолютного ускорения, стоящую в скобках, для частных случаев.
|
|
1. Переносное движение точки поступательное . В этом случае оси подвижной системы координат перемещаются все время параллельно самим себе, тогда . , , , тогда . Окончательно получаем:
(62)
Если переносное движение точки поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения.
2. Переносное движение точки непоступательное. Значит, в этом случае подвижная система координат вращается вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью (рис. 70). Обозначим точку на конце вектора через . Тогда используя векторный способ задания (15), получаем вектор скорости этой точки .
63
С другой стороны, . Приравнивая правые части этих векторных равенств, получаем: . Поступая аналогично, для остальных орт векторов, получаем: , .
(63)
В общем случае абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения плюс удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения.
20. Ускорение Кориолиса. |
Удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения называется ускорением Кориолиса и обозначается:
(64)
Ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в переносном движении и изменение переносной скорости в относительном движении.
Направляется по правилу векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса всегда направлен перпендикулярно плоскости, которую образуют вектора и , таким образом, чтобы, смотря с конца вектора видеть поворот к , через наименьший угол, против хода часовой стрелки.
|
|
Модуль ускорения Кориолиса равен:
(65)
64