Метод Лагранжа применяется для уравнений вида:
, (24)
причем правая часть может иметь любой вид. Общее решение уравнения (24) находят в виде:
, (25), где
и
— неизвестные функции переменной
, удовлетворяющие системе уравнений:
(26)
Функции и
составляют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения
.
Пример 10. Решить дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа):
1) ; 2)
.
Решение. 1) . Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
. Характеристическое уравнение
имеет корни
, следовательно, по табл. 1
,
. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
(*)
Функции являются решениями системы (26), которая в данном случае имеет вид:
Решаем ее методом Крамера:
;
,
,
.
Интегрируя, полученные выражения, находим :
;
.
Найденные подставляем в формулу (*). Получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
|
|
.
2) . Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
. Характеристическое уравнение
имеет корни
, следовательно, по табл. 1
,
. Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
. (**)
Функции являются решениями системы (26), которая в данном случае имеет вид:
Каждое из уравнений системы можно сократить на , получим:
Решаем систему методом Крамера:
;
,
;
;
.Интегрируя, полученные выражения, находим
:
;
.
Найденные подставляем в формулу (**). Получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
уравнения.
Контрольные вопросы по разделу «Дифференциальные уравнения»
1. Дифференциальные уравнения. Основные определения
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
8. Метод неопределенных коэффициентов. Метод Лагранжа.